上一篇博文以一个简单的椭圆型偏微分方程为例展示了PDE工具箱的使用，下面对其他类型的偏微分方程的简单例子做求解。

抛物线型

受热金属块的热传导问题：

一块受热的有矩形裂纹的金属块。金属块的左侧被加热到100℃，右侧热量则以恒定速率降低到周围空气的温度，所有其他边界都是独立的，于是边界条件为

初始温度为0℃。指定起始时间为0，研究5s的热扩散问题。

求解结果如下

具体步骤：

a) 建模。先画一个起点为(-0.5,-0.8)，终点为(0.5,0.8)的矩形，再建另一个矩形，起点(-0.05,-0.4)，终点(0.05,0.4)，然后在设置公式中输入R1-R2；

b) 设置边界条件；

c) PDE中设置参数，d=1,c=1,a=0,f=0；

d) 初始化网格并细化一次；

e) 在Solve Parameter…中，设置u0=0，时间为[0:0.5:5]，然后求解。

注意到金属块的温度升高很快，可试着改变时间列表的表达式为logspace(-2,0.5,20)以便观察。

双曲线型

方形薄膜横向波动问题，其波动方程为

满足边界条件的初值为

求解结果如下

具体步骤：

a) 建模，画出起点(-1,-1)，终点(1,1)的矩形；

b) 确定边界条件；

c) PDE Specification对话框中选择双曲线型，参数设为c=1,a=0,f=0,d=1；

d) 初始化网格，并细化一次；

e) 在Solve Parameters对话框的时间中输入linspace(0,5,31)，u的初值为atan(cos(pi/2*x))，一次偏导的初值为3*sin(pi*x).*exp(sin(pi/2*y))，然后求解。

本征值型

L形薄膜的特征值和特征函数：

计算所有特征值<100的特征模式，边界上为u=0。结果中的两种模态如下

具体步骤：

a) 建模，如上图；

b) 边界条件使用默认即可；

c) 初始化网格并细化两次；

d) PDE对话框中选择Eigenmodes，参数使用默认值c=1,a=0,d=1；

e) 在Solve Parameter…对话框中，输入特征值搜索范围，使用默认值即可[0 100]；

f) 求解。

非线性问题

单位圆盘的最小表面问题

计算域为单位圆盘，边界条件为

本问题为非线性问题，不能用常规的椭圆型方程求解器进行求解，而需要使用非线性求解器pdenonlin。结果如下

具体步骤：

a) 画出单位圆；

b) 选择所有边界，在Boundary Condition对话框中，设置r为x.^2，即定义边界条件Dirichlet条件u=x^2；

c) 然后在PDE Specification对话框中，选择椭圆型方程，在c中输入1./sqrt(1+ux.^2+uy.^2)；

d) 初始化网格并细化一次；

e) 求解前，选择Solve菜单中的Parameters…选项，选择Use nonlinear solver选项，将容限参数设为0.001，然后求解。