最近看到有关面积坐标的东西，稍总结一下吧。

百度百科http://baike.baidu.com/view/2336982.htm

面积坐标定义

平面上任取一个⊿ABC，充当坐标三角形。对于平面ABC上任意一点M，将下述三角形面积比 S⊿MBC：S⊿AMC：S⊿ABM=μ1：μ2：μ3 叫做点M关于⊿ABC的面积坐标(或重心坐标)，记作：M= (μ1：μ2：μ3)={μ1，μ2，μ3}。

注：这里的面积 S⊿MBC，S⊿AMC，S⊿ABM都是有向面积。通常约定，顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正，顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负。故各个坐标分量μ1，μ2，μ3 都是可正可负的。

由定义可知，某个点M的面积坐标既可记为 (μ1：μ2：μ3)，也可记为 (kμ1：kμ2：kμ3)（k≠0）。也就是说，一个点的面积坐标记法并非唯一，他们可以相差一个非0的常数因子。因此这类坐标属于齐次坐标。笛卡尔直角坐标不属于齐次坐标。

当μ1+μ2+μ3=1时，面积坐标 (μ1：μ2：μ3)称为规范面积坐标。

点的面积坐标符号

设点M(μ1：μ2：μ3)是规范面积坐标.

1）如果点M(μ1：μ2：μ3)在三角形内部，那么μ1、μ2、μ3属于开区间 (0,1)；

2）如果一点在三角形的边上，至少有一个面积坐标 λ1...3 为 0，其余分量位于闭区间 [0,1]；

3）如果有某个坐标小于 0，则位于三角形外部，具体分布可参考下图。

例 以a、b、c分别表示⊿ABC三角A、B、C所对的边，p=（a+b+c），p(a)=p-a，x(a)=-a^2+b^2+c^2 等等， 则⊿ABC的“五心”的面积坐标如下：

重心：G（1：1：1）=G（1/3：1/3：1/3）；

内心：I（a：b：c）=I（sinA：sinB：sinC）；

旁心：I(a)（-a：b：c），余类推；

垂心：H（1/x(a)：1/x(b)：1/x(c)）=H（tanA：tanB：tanC）；

外心：O（(a^2)·x(a)：(b^2)·x(b)：(c^2)·x(c)）=O（sin2A：sin2B：sin2C）。

书上有关面积坐标的总结

面积坐标定义为

而

同理可得

其中

面积坐标的性质：

面积坐标可以用来表达直角坐标：

当函数表达为面积坐标的函数

则有

有限元数值积分：

含面积坐标的积分公式

含距离坐标的积分公式

含体积坐标的积分公式