掌握了傅里叶变换的性质，我们就可以讨论信号周期化，或离散化，频谱如何变化？

 

3.9 周期信号的傅里叶变换

    设f0(t)是非周期信号，则其有傅里叶变换F0(w)，它也是非周期的，是连续的。

如果f0(t）以T1做周期延拓，变成周期信号 f(t)，显然在（-T1/2,T1/2)区间内f0(t）= f(t)

那么f(t)的频谱如何呢，与f0(t）的傅里叶变换F0(w)有什么关系呢。经过计算，我们知道f(t)的频谱是F0(w)的离散化，是以w1 (w1=2pi/T1) 为间隔对F0(w)离散，在每个离散频率点 （nw1）处，频谱密度是一个冲激，冲激强度与F0(w)在该处的取值 （即F0(nw1)）有关。由

     推导的过程是，先将f(t)写成指数形式的傅里叶级数，然后对该级数做傅里叶变换，而每一个谐波项的傅里叶变换是在该谐波处的冲激。记住这个推导过程就能自己推导出周期信号的傅里叶变换。由傅里叶级数系数Fn的计算公式很容易发现 Fn = F0(w)|w=nw1 再除以T1

    实际上傅里叶变换是频谱密度的概念，而周期信号由谐波构成，其频谱分布只能出现在谐波处，在该处的谐波幅度是有限值（傅里叶级数的系数|Fn|）。以频谱密度来考察时，必然就是冲激形式了。

    结论： 时域周期化，频域离散化

 

3.10 抽样信号的傅里叶变换

     正好与3.9节相反，如果换成在时域离散化，那么在频域就是周期化

     上面结论的推导用到卷积定理，信号在时域离散化是信号f(t)与一个周期信号P(t)（一般为周期冲激函数、周期脉冲、或周期三角波等）相乘，得到的抽样信号为fs(t)。 fs(t)的频谱Fs(w)与f(t)的频谱F(w)有什么关系呢？ 推导的结果是：Fs(w)是F(w)的周期化，即F(w)以ws为周期重复。ws是周期信号P(t)的基波频率，称为抽样频率。因为Fs(w)在F(w)以ws为周期重复是，还要乘以系数Pn（周期信号P(t)的傅里叶级数系数），当然只有P(t)是周期冲激函数时，Fs(w)才是真正周期化，因为Pn都一样等于1/Ts。而当P(t)是其它周期信号时，Pn随P(t)一个周期内信号的傅里叶变换的包络变化，不是周期的，Fs(w)也不会是周期的，但它还是F(w)以ws及其整数倍nws左右平移而来。

     推导过程应用卷积定理，抽样信号fs(t)= f(t)P(T) 时域相乘，频域相卷积，即F(w)与F[P(T)]相卷积。

     频域抽样 同理-频域抽样，时域周期化

 

3.11 抽样定理

时域抽样定理 由fs(t)频谱可知，只要原信号f(t)频带有限 （最高频率是wm）,则当抽样周期信号的频率ws大于等于wm的2倍时，Fs(w）没有频谱混叠，在0附近的频谱仍然是原信号的频谱结构。用低通滤波器将其取出就能恢复f(t)

频域抽样定理 信号是时限的，在频域中用频谱周期的信号对其抽样，频谱周期对应的时间大于信号时间上限的两倍时，抽样后的信号在时域不发生混叠。

 

总结：

  周期信号傅立叶级数          （谐波分析，能量集中）
 非周期信号傅立叶变换        （频谱密度，能量集中）
 周期信号傅立叶变换          （时域周期，频域离散）
 抽样信号傅立叶变换          （时域离散，频域周期）