内容：

一、关系的性质

二、关系的闭包运算

一、关系的性质

自反

设R是集合A上的二元关系，若对于任意a属于A，都有aRa，即<a,a>属于R，则称R为A上的自反关系。

反自反

若对任意a属于A，都有<a,a>不属于R，则称R为A的反自反关系。

例：

在整数集上的小于等于关系是自反的。

空集上的空关系既是自反又是反自反的。

集合A={a,b,c}

R={<a,a>,<a,b>}既不是自反的，也不是反自反的。

S={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>}是自反的。

设R是集合A上的二元关系，若对于任意a,b属于A，若有<a,b>属于R，就必有<b,a>属于R，则称R为A上的对称关系。若有

<a,b>属于R，且<b,a>属于R,就必有b=a，则称R为A上的反对称关系。

非空集合A上的全关系EA是对称关系，但不是反对称关系。

整数集Z上的小于等于关系，小于关系，都是反对称的，但不是对称的。

非空集合A上的恒等关系IA和空关系都是对称的，也是反对称的。

非空集合A上的权关系EA，恒等关系IA，空关系和包含关系都是传递关系。

整数集Z上的小于等于关系，小于关系都是传递关系。

二、关系的闭包运算

设R是A上的二元关系

若有A上另一个二元关系R'满足：

R'是自反的（或者对称的，传递的）

R包含于R'

对A上任何包含R的自反（对称，传递）关系R''，都有R'包含于R''

则称R'为R的自反（对称，传递）闭包，记作r(R),s(R),或t(R)。

R是自反的当且仅当r(R)=R

R是对称的当且仅当s(R)=R

R是传递的当且仅当t(R)=R

若R是自反的，则s(R)与t(R)也是自反的。

若R是对称的，则r(R)与t(R)也是对称的。

若R是传递的，则r(R)也是传递的。

求取闭包

R是非空集合A上的二元关系，IA是A上的恒等关系，则二元关系R的自反闭包 r(R) = R 并 IA

R是非空集合A上的二元关系，则二元关系R的对称闭包 s(R) = R 并 R-1

若已知R的关系图，只要把图上所有的单向弧画为双向弧，就可以画出R的对称闭包s(R)的关系图。

若R是非空集合A上的二元关系，则R的传递闭包t(R) = R 并 R平方 并 R立方 并...

R平方表示 R和R的复合，R立方表示R和R的复合再与R做复合，

若R是非空集合A上的二元关系，且A有n个元素，则R的传递闭包t(R) = R 并 R平方 并 R立方 并... 并 R的n次幂