经历数学化:从“数学生活化”到“生活数学化”的教学回归与超越

    关键词：经历   数学化   教学   回归与超越

    摘要：本文由数学课程改革中，教学实践由一开始的“数学问题生活化”向“生活问题数学化”的教学回归现象引发思考，进一步明晰了数学教学中“数学化”和“生活化”之间的关系，实现思想上的一次超越，探讨了什么是数学化，小学阶段能否提数学化，小学数学教学中的数学化如何目标定位等问题，并指出当前数学化教学现状是什么，以及让学生有效经历数学化过程的几点做法。

    《数学课程标准》指出：义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。传统数学教学中过分关注数学知识自身的特点，往往忽略了数学学习者的现实基础，因此，在新课改推行之初，课改专家竭力强调要联系数学知识的生活现实，创设生动而具体的问题情境，从而使数学走进学生的生活，从理念世界回归到学生的生活世界。但随着课改的推进和深化，一线数学教师逐步感觉，很多数学课堂教学加了“生活味”，却在不经意间丢掉了“数学味”。其实，反思《数学课程标准》，不只强调“从学生已有的生活经验出发”，同时也清楚阐明要“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。这就是说，学习者还要经历从自己的数学现实出发，经过自己的数学思考，得出有关数学结论的过程。由此，教师们在教学实践中自觉或不自觉的实现了从“数学问题生活化”到“生活问题数学化”的一次教学回归。本文正由此现象出发，探讨数学化在小学数学教学中的教育价值与教学现状，以及如何引导学生有效经历数学化的过程。

    一、数学化与小学数学教学

    1、数学家的数学化与教育家的数学化

    《现代数学教育理论》阐明，数学化是“人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，以发现其规律的过程。”简单地说，就是数学地组织现实世界的过程。

    现在已无法考证是谁最先使用这个术语，用以描述根据数学家的需要和兴趣整理现实性事物的这种活动。但可明确的是，弗赖登塔尔 (H.Fredenthal) 首先提出把“数学化”作为数学教学的基本原则之一，他认为，与其说让学生学数学，不如说让学生学习数学化；与其说让学生学习公理系统，不如说让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习形式化。所谓数学化的过程，就是将学生的数学现实进一步提高、组织、抽象的过程。

    作为教育任务的具体数学，数学化的过程，其实就是“让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型进行解释与应用的过程（引自数学课程标准）”。数学化有两种，一是横向的数学化，即把生活世界引向符号世界；二是纵向的数学化，即在符号世界里，符号生成、重塑和被使用。那些热衷于教育的数学家往往会把数学化局限在它的纵向因素；而致力于数学教学的教育家却多偏重于它的横向因素。数学教学中的数学化往往在两端徘徊和寻求一种平衡。

        2、小学数学教学中的数学化

    在小学数学教学阶段就提出“数学化”学习的要求是否操之过急呢？我们有必要反思和回答下面几个问题：

    ⑴理论上有可行性吗？

    由于每个人都有自己特有的不同的"数学现实"，因此数学化就有不同的层次与特征，数学化可以发生在不同层次的了解上。数学化一般包括四个层次：情境层次、指涉层次、普遍层次和形式层次。即情境水平――跟问题情境息息相关，促进脉络化知识及策略能够在情境中运用；指涉水平――包括使用具体的数学模型来代表特定的数学对象，所用到的数学模型和策略必须涉指问题所衍生的情境；一般化水平――使用去脉络化的，具有普遍性的数学模型来分析蕴含的关系；形式化水平――在数学范畴内进行符号的运算，进行纯粹的思维、反思和欣赏活动等。弗赖登塔尔还指出数学化可以分为多个阶段：直观阶段、分析阶段、抽象阶段、演绎阶段、严谨阶段。并不要求每一个学生一次完成所有阶段，而应该符合学生的年龄特征。这就为小学生亲历数学化过程的可行性提供了理论依据。

    之所以对“数学化”产生“敬而远之”的感觉，是因为很多教师把“数学化”简单地理解成“形式化”, 把数学化的 4 个层次简约为最后一个层次, 只强调形式化的结果而忽视“数学化”的过程。事实上，只要我们恰当把握学生的年龄特征和认知发展规律，小学生也能有效经历数学化过程和获得必要的数学活动经验。

    ⑵现实教学中有必要吗？

    在弗赖登塔尔看来，没有数学化就没有数学，对数学的教与学，也就围绕着数学化来展开。我们小学数学学习中有很多例子，比如生活中很多物体都是圆形的，于是，我们对它们进行归纳概括，抽象出共同特征，从而形成了一个概念——数学中的圆，它来源于生活，又高于生活；很多数相加，麻烦极了，我们就创造出乘法——它是加法的另外一种表现形式；9+几，许多学生算起来速度较慢，我们想出了“凑十法”，让学生（特别是反应不快的学生）有一个思维的拐杖；如此，相类似的问题有很多。

   就连被批判无实际应用价值的问题，“蓄水池有进水管和出水管……”，可它却反映了一种数学化——排队候场、新陈代谢、上下汽车、人口增减……，解决这一类问题的背后，就是这个动态平衡的“数学模型”。从某种意义上说，学习数学的过程就是实现数学化的过程，因而，数学化在数学教学中具有特别的意义。

    ⑶小学阶段如何目标定位？

   小学数学教学中的数学化过程，不同于数学家的研究过程，不是数学发展历史过程的简单复制或浓缩，让小学生有效经历数学化，就是通过设计恰当的数学教学活动，让他们在经历数学知识的发展过程中体验和领悟最本质、最基本的数学思维方式、数学思想和方法，培养他们用数学的眼光来观察生活和解决问题的数学活动经验，发展学生的数学素养。

    ①培养数学的眼光。数学在现实世界里有着广泛的应用。数学的教学，要避免看成仅仅是计算、应用题的教学，要使学生通过数学的学习，主动地从数学的角度去解决一些现实的问题，感受数学活动的价值与作用，形成应用数学的意识，养成从数学的角度看生活的习惯。

    ②学会数学的思维。据有关研究，东、西方学生在解决问题的过程中有一个很明显的区别：西方学生比较善于提出新的构想和解决问题的整体框架，东方学生比较善于把既有的想法加以发展、完善，形成结论。这就是所谓的设计能力与施工能力的问题。设计能力是在整体的把握的基础上，通过创造性的发散和求异思维进行选择和组合的过程中得到的；施工能力是通过技能技巧的重复训练而形成的。我们不能只培养学生具有施工能力，更要培养学生具有设计能力。

    ③感受数学的精神。将数学教学与文化活动融合一体，在数学知识的再创造活动中，让学生体验知识的发展过程，是文化交融的结果。充分挖掘数学的文化内涵，可以使数学教学不再是单向的知识传递，除了获得了数学思考与探究活动的经验，还可使学生领悟到数学的无尽魅力，更重要的是，在与人类文化史的比较中，品尝到创造数学的乐趣，感受到自己思维的力量。

    二、回归与超越：从生活化到数学化再到生活化与数学化的辩证结合

    新的数学教学理念强调在学生能够有意义的理解概念和原理的抽象形式之前，教师通常应创设具体的生活情境，来使学生更好地理解数学知识。这就是数学问题的生活化。数学教学生活化的意义如此重大, 为什么在课程改革中受到诘难? 笔者认为, 这与课程改革中数学“生活化”实施的误区有关。我们绝不能把“生活化”简单地理解为以“生动活泼、富有趣味性的卡通画”“增加数学的趣味性”；也不能把“日常生活”等同于“数学”。

    如某教师教学“千米的认识”，为了让学生获得“1千米”的直观感受，把学生带到操场上，组织学生跑了5圈，每圈200米。学生跑得气喘吁吁，休息了半天又回到教室，课堂时间已经过去大半了。这时，教师才开始引导：你们一共跑了多少米？（生：200×5=1000）这就是1千米。

    有效的数学教学应联系学习者的生活实际开展教学活动。但认识1千米，就一定要让学生在数学课上跑5圈吗？肯定不是！数学课变成了体育课，问题就出在，我们除了要将数学与学生的生活经验相联系，还要将生活经验与数学相联系，引导学生把生活经验上升到数学知识。著名数学教学专家刘可钦指出，可以先让学生在课前有意识地记录一下“在操场上走1圈大约用多长时间，用这样的速度，走5圈大约用多长时间，从学校到家用多长时间”，然后在课堂上组织学生交流对“1千米有多长”的不同感受，并推算“从家到学校大约有几千米”，课后再进一步实践，查阅东方明珠广播电视塔有多高，家乡到北京有多远等。这样，学生的数学学习水平不是从生活到生活，而是利用生活经验中的数学事实，通过推理、反思，达到“数学化”，实现数学素养的提高。因此，我们又回归到了数学化。

    而在我们对这种教学回归的反思中，我们也意识到数学化和生活化并不互相排斥，从而实现思想上的一次超越。当前数学教学提倡“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的教学模式，也说明数学课堂“生活化”不是最终目的，只是有效“数学化”的途径。数学与实际生活的关系，数学来源于实际生活，数学又为实际生活服务，这两者相互依存，缺一不可。因此，强调数学抽象（即生活问题的数学化）和数学应用（即数学问题的生活化）这两者的辩证结合，对于数学学习具有十分重要的意义

    只有把数学同与其相关的现实世界背景紧密地联系在一起, 学生才能获得蕴含丰富生命力的数学知识。同时，只有经过数学化的抽象过程，学生才有获得具有发展性的数学知识。

    三、让学生有效经历数学化过程

      1、当前数学化教学过程中存在的三种倾向

    ⑴“缺位倾向”。数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境。教师在教学中铺陈大量的生活情境，但却忽视情境的发展功能，缺乏有效数学抽象和策略提升的意识，数学知识的习得和数学情境的创设脱节，缺少有效的联系，只注重环节的简单叠加，而忽视通过这些数学活动，有机的提炼数学问题，发展学生的数学思想方法，形成一定的解决数学问题的策略，养成一种用数学眼光观察生活、问题的习惯。

    ⑵“越位倾向”。数学教学中教师往往预设好问题，只要学生往里跳即可，缺失学生比较、交流、反思、抽象的必要过程，使学生直接跨越了将实际问题提炼成数学问题的数学化过程，失去了对数学问题再发现、再创造的机会。教师替代学生的亲身体验和探究的过程，甚至直接跳跃这一抽象过程。但这些认知没有经过学生自己的主体建构，无法获得真正的发展。新型的数学教学理念强调教学的重心不只在于关心学习者“知道了什么”, 而且还在于关心他们是“怎么知道的”。

    ⑶“错位倾向”。在数学化的过程中应当掌握数学的最本质东西，即数学思想和数学精神。但有的教学中把“数学化”简单地理解成“形式化”，教师只是传递数学知识而不是设法让学生去发现数学知识，导致学生的数学学习过程单薄，内在发展性不强。其实，在“数学化”的过程中，教师可以为学生提供“指导性”的机会，让他们在活动过程中“再创造”数学。

    2、让学生有效经历数学化过程的几点做法

    ⑴内容层面：创设有数学含量的情境。

    王永老师介绍过一个比较典型的教学案例。某老师在教整数加法的交换律时，创设了这样一个情境：老师准备了一个带长柄的勺子，请一名同学拿着它的末端舀汤放到自己的嘴里。一个学生上来试了试，怎么也喝不到汤。然后教师安排4个学生，分成两组，看哪个小组先喝到汤。学生逐渐明白，只有把汤送到对方的嘴里，才能喝到。然后教师说，这就是生活中的交换律。

    这个情境的确生活化了，学生的活动也很热闹。但确切地说，这个地方是交换，而非交换律。交换律是一条规律，是指在某种运算中，交换两个数的位值，其运算的结果不变。生活中的交换和数学中的交换律有着本质的区别，不可将交换律庸俗为生活中的交换。这个情境本身缺少数学的含量，缺失了数学的本质，要希望学生从中抽象出数学的本质，其难度不亚于做无米之炊。

    数学化的情境要有数学的含量，这正如到金矿去淘金一样。张齐华老师在教学同样的内容时，先讲关于“朝三暮四”的寓言故事，然后让学生体会其中的意义，从而引入加法的交换律，就是一种比较好的处理办法。这样的情境含有数学的本质的东西，也就方便了学生实现数学化。

    ⑵设计层面：设计有联系的思考环境。

    教师提出启迪思维的数学问题应当紧密结合学生的认知结构，当学生缺乏对意义的理解时，往往将解决问题降低为一种程式化的、机械的训练。知其然，而不知其所以然，在关键的时候，就容易出现这样那样的错误，从而不利于提升学生数学化的水平。

    《小学数学教师》刊载过这样一个教学实例，在“长方形周长的计算”教学中，某教师利用长方形贺年卡让学生感知、获取长方形周长的概念后，是这样教学长方形周长计算的：先让学生测量出长方形贺年卡的长和宽，再让学生探索、计算长方形的周长，最后让学生根据贺年卡的周长选择长度适当的彩带镶贴、美化贺年卡。

    在这一教学片断中，教者以学生喜欢的贺年卡为依托，让学生通过测量、合作、实践等方式参与长方形周长的计算，充分体现了数学教学生活化、活动化的理念，似乎无懈可击。然而只要从学生“学”的角度加以琢磨、研究，就会不免生疑：“为什么要学习长方形周长的计算？为什么要测量长方形的长和宽？”这些在学生眼中“未完成的知识”，却被老师简单地认为是“已完成的知识”而忽略了，使学生直接跨越了将实际问题提炼成数学问题的数学化过程，失去了对数学问题再发现、再创造的机会。

    就上例而言，可让学生通过如下方式参与长方形周长计算的问题提出过程：（1）猜一猜。如果给长方形贺年卡镶花边，该从老师提供的三种长度不同的彩带的尺寸中，选择哪种长度的彩带最节省？（2）议一议。要准确确定、选择彩带的尺寸，要研究哪些数学问题？要收集哪些数据？怎样计算？从而引出长方形周长计算的数学问题。

    ⑶思维层面：遵循有体验的数学化发展阶段。

    顾泠沅教授提出实现数学化的三个阶段，即实物操作、表象操作和符号操作。表象操作是一个中介，借助这个表象操作，可以实现从动手操作到算式表示的过渡，越过形式化的难关。

    在实际教学中，我们要恰当运用三种数学思维，适应不同阶段的需要。即直觉思维、表象思维、逻辑思维。如教学“分数的初步认识”，可以创设以下几个步骤逐步实现数学化：⑴从“分饼”开始教学，把1块饼平均分给2个人，每个人分得几块？在已经学过的数中，有没有可以用来表示“一半”的数呢？

    ⑵饼有如下各种各样的形状，怎样分别图示它的一半？

    ⑶如果画一条线段表示1块饼，怎样分别图示它的一半？

    ⑷如果用不同的图形表示1块饼，图示它的一半的方法有哪些共同点呢？（①平均分；②分2份；③取1份）

    ⑸请你尝试创造一个表示“一半”的数学符号，这个符号必须体现上述三个共同的特点。让学生在独立思考的基础上，进行合作交流，达成共识。

    ⑹教师组织评价：历史上曾经创造了各种表示“一半”的面积符号，如1/2，1：2，1P2，等，它们的名字都叫做“二分之一”，现在，全世界都普遍采用 这种数表示分数。

    当然，学生的数学化水平是有区别的，不能一概而论。对于多数小学生学数学，从实物到符号存在着一道“鸿沟”，所以，教师不能将注意力直接指向结果，而要着力关注学生有效构建的过程，让学生填平并顺利走过这道“鸿沟”。

    参考文献：

    1．数学课程标准研制组编写．《数学课程标准（实验稿）》[M]，北京：北京师范大学出版社，2002.

    2．弗赖登塔尔．《作为教育任务的数学》［M］，陈昌平，唐瑞芬译．上海：上海教育出版社

    3．曹一鸣，《数学教学中的“生活化”与“数学化”》［J］，《数学教育学报》2005 (3)

    (本文发表于全国中文核心期刊《中小学教师培训》08年12期)