质数合数  分解质因数

 

 

一、质数与合数的概念

 

    自然数可以按约数（即因数）的个数进行分类：

      ①质数：只能被1和自身整除的自然数叫质数，即质数只有两个约数（即因数）：1和它本身。如2、3、5等

      ②合数：除了能被1和自身整除外，还有能被其他整数整除的自然数叫合数，即，合数的约数（即因数）多于2个，除了1和它本身外，还有别的约数（即因数）。如4、6、8等等

      ③1    1不是质数也不是合数。既不是质数也不是合数的自然数只有1

 

   注意：

        1不能质数也不是合数

        2是最小的质数，也是质数中唯一的偶数

        4是最小的合数

        100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

 

 

二、质数与合数的应用

 

   例1．3个质数的和是80，这3个质数的积最大是多少？

 

   解析：由于3个数的和是偶数，所以这3个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以3个数中一定有2。

   另两个质数的和是78，要使乘积最大，这两个质数应该相差尽可能小，显然，和是78的两个质数，41和37的差最小，即这两个数的积是最大。

  2×37×41=3034

   这3个质数乘积最大是3034。

 

   例2．一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位质数，我们称这样的两位质数为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于多少？

 

    解析：设“无暇质数”为ab，那么ba也是质数

    因此，a、b无为奇数，容易检验，“无暇质数”分别是11、13、17、31、37、71、73、79、97共9个

    所以，它们的和=11+13+17+31+37+71+73+79+97=429

 

    例3．正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两数之和都相等。若18对面所写的质数是a，14对面所写的质数是b，35对面所写的质数是c，那么a+b+c=？

 

   解析：由题意可知18+a=14+b=35+c，要想等式成立，a、b、c的奇偶性应分别为奇、奇、偶或偶、偶、奇。而a、b、c均为质数，所以只有c=2成立，此时b=23，a=19，所以a+b+c=44

 

   例4．一个质数的2倍与另一个质数的3倍之和是100，这两个质数的积是多少？

 

   解析：一个质数的2倍是一个偶数，由于和是100，也是偶数，所以另一个质数的3倍应该是偶数，即另一个质数是偶数，即是2，我们可以把剩余的那个质数求出来，是47，

两个质数之积是2×47=94

 

 

三、分解质因数的应用

  

     质因数：如果一个数的约数（即因数）是质数，这个约数（即因数）就叫做这个数的质因数。

     分解质因数：就是把一个数表示成质因数乘积的形式，  如： 12=2×2×3

 

例1．四个连续自然数的积是360，求这四个自然数

 

    解析：360=2×2×2×3×3×5

             =3×（2×2）×5×（2×3）

             =3×4×5×6

 

    例2．把9、15、28、30、34、55、77、85这八个数平均分成两组，使每组里四个数的乘积相等

 

    解析：把八个数平均分成两组，每组四个数，要使两组数的乘积相等，这两组数的乘积中所含有的质因数应该完全相同。因此，我们可以先把这八个数分解质因数，然后根据这些质因数进行分组。

  9=3×3     15=3×5     28=2×2×7    30=2×3×5  

  34=2×17   55=5×11    77=7×11       85=5×17

   从上面18个质因数中可以看出，每组四个数的乘积中，都必须含有两个2，两个3，两个5，一个7，一个11和一个17。因此，这两组数分别是（9，28，55，85）和（15，30，34，77）

 

   例3．小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910，你能算出小明的名次、年龄和分数吗？

 

    解析：2910=名次×年龄×分数，可以看出，名次、年龄和分数分别是2910的因数，将2910分解质因数=2×3×5×97

                                    =2×（3×5)×97

                                    =2×15×97

   所以，他得第2名，年龄是15岁，得分是97分

 

   例4．王老师带领一班学生去种树，学生恰好平均分成3组，已知师生每人种的树一样多，共种了572棵，那么，这班学生有多少人，每人种多少棵树？

 

   解析：572=师生人数×每人种的棵数

            =（学生人数+1）×每人种的棵数

            =2×2×11×13

            =44×（1+12）或 =11×（1+51）

          很明显，1+51为师生总人数更符题意。

     所以，学生为51人，每人种11棵树

 

    例5．某商店卖每支5角的铅笔，很少有人买。于是，该店进行降价销售，结果全部卖光，共卖得31.93元.问:这种铅笔共多少支?每支降价多少元?

 

   解析:把上面的单位统一化成分,总价=单价×支数   而3193=31×103,由题可知,每支铅笔原价是5角,可以看出:降价后,每支铅笔的单价是31分,即0.31元,共103支铅笔.每支降价0.5-0.31=0.19元