周 期 问 题

 

导言：

   在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现。我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。

  要解决这类问题，关键要抓住两点：

   ①找出规律，找出周期。即多少个（次）又出现重复

   ②用总量除以周期，看余数，余几就是周期里的第几个，没有余数就是最后一个。

 

例1．有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、、、、、、、

（1）第2009个数是多少？

（2）这列数字中，“2”会出现多少次

（3）这2009个数相加的和是多少？

 

   解析：仔细观察，这2009个数不是随意排列的，每六个数重复一次，按1、4、2、8、5、7一个循环依次不断重复出现排列的。周期找到了，接着用总量除以周期，把余数与周期对比，很容易解答问题。

  （1） 2009÷6=334、、、5，即重复了334次，还余5个数，分别是1、4、2、8、5。所以第2009个数就是5

  （2）（1、4、2、8、5、7）重复了334次，“2”也就出现了334次，再加上余下的五个数中，“2”又出现了一次，所以，数字“2”总共出现了335次

  （3） 我们把2009个数按每一组（1、4、2、8、5、7）这样分组，可以分成334组，还剩5个数，334组的数都相同，每组的和=1+4+2+8+5+7=27，那么这334组的总和是27×334=9018，再加上还余下的五个数，即为2009个数的总和了。

      （1+4+2+8+5+7）×334+（1+4+2+8+5）=9018+20=9038

 

    例2．求2×2×、、、×2（2008个2相乘）+ 3×3×、、、×3（2009个3相乘）的个位数字

 

 解析：要想求和的个位数字，关键是要求出每个加数的个位数字。

（1）先观察下2×2×、、、×2（2008个2相乘）个位数的特点，看是否有周期性，若有，则可根据周期问题的方法来解答

      2               个位数字是2

      2×2             个位数字是4

      2×2×2           个位数字是8

      2×2×2×2        个位数字是6

      2×2×2×2×2      个位数字是2

  可见，个位数字是按2、4、8、6不断循环重复，所以周期是4

     2008÷4=502，没余数，个位数字就是最后一个：6

 

 （ 2）同理，我们也可以找出3×3×、、、×3（2009个3相乘）个位数字的排列规律

      3                个位数字是3

      3×3             个位数字是9

      3×3×3           个位数字是7

      3×3×3×3        个位数字是1

      3×3×3×3×3      个位数字是3

  可见，个位数字是按3、9、7、1不断循环重复出现，所以周期是4

  2009÷4=502、、、1，余数是1，个位数字就是周期里面的第一个数，即3

 所以，求2×2×、、、×2（2008个2相乘）+ 3×3×、、、×3（2009个3相乘）的个位数字，就是6+3的个位数字，即9

 

例3．2009个学生按下列方法编号排成五列：

    一     二      三      四      五

     1      2       3       4      5

     9      8       7       6

           10      11       12     13

    17      16      15       14

       、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

 问最后一个学生应该在第几列？

 

  解析：仔细观察，除了第一个学生外，其余学生都是按这样的次序排列的：二、三、四、五、四、三、二、一、二、三、四、五、四、三、二、一、、、、、、、。按“二、三、四、五、四、三、二、一”不断循环重复，所以周期是8

  （2009-1）÷8=251，没余数，说明最后一个学生排在周期里的最后一个数，即第一列

 

  注意：周期可以是从第一个数开始不断循环重复，也可以不从第一个数开始，当不是从第一个数开始循环重复时，我们一般先从总数中把不参与循环的数剔除掉，再除以周期，看余数

 

  例4．2009年9月8日是星期二

  （1）2009年9月27日是星期几？

  （2）2009年12月25日是星期几？

  （3）2012年10月1日是星期几？

 

  解析：推算星期几的题目，第一要知道周期；第二也是最重要的是要学会计算天数。第三推星期几：总天数除以7，看余数，余几就从当天往后推几天。一周七天，不断循环重复，周期是7。计算天数时，遵守以下几个规律：①一个月之内的，尾减首就得天数②跨月的，先算整月再算零头天数③跨年的，先算整年再算整月最后算零头天数④有几个常识要清楚：1、月：3、5、7、8、10、12月为大月，31天；4、6、9、11月为小月，30天；2月平年28天，闰年29天；年：平年365天，闰年：366天，四年一闰，一般情况下能被4整除的是闰年，下面的为例外：能被100整除的但不能被400整除的是平年。3200年以及它的倍数年将不是闰年

（1）属一个月之内的。从9月8日到27日有 27-8=19天

      19÷7=2（周）、、、、5（天）

   从星期二往后推5天，就是星期日。

   即2009年9月27日是星期日

（2）属跨月的。

   先算整月：9月8日至10月8日至11月8日至12月8日，三个月共 30+31+30=91（天）

   再算零头：12月8日至12月25日有  25-8=17天

   所以，共有91+17=108（天）

        108÷7=15（周）、、、3（天）

        从星期二往后推三天，就是星期五

        即2009年12月25日是星期五

（3）属跨年的

  先算整年：2009.9.8--2010.9.8--2011.9.8--2012.9.8  三年共365+365+366=1096天

  再算整月:2012.9.8—2012.10.8   一个月 共 30天

  最后算零头: 2012.10.8—10.1   共8-1=7天

   所以  共有   1096+30-7=1119天

   1119÷7=159(周)、、、、6天

  从星期二往后推六天，就是星期一

   即2012年10月1日是星期一

 

   例5．伸出你的左手，从大拇指开始，按大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指、、、、、的顺序依次数数字：1、2、3、、、、，问：数到2009时，你数在哪个手指上？

   解析：我们先看数字规律，找出周期来。大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指、、、、、8个循环重复一次，周期是8

   2009÷8=251、、、1

  余几就是一个周期中的第几个。

  所以，数到2009时，正好数到大拇指的位置上。

 

   例6．一列数1、2、4、7、11、16、22、29、、、、。这列数左起第2009年数除以5的余数是几？

   解析：由于是求余数，因此找出这列数除以5的余数规律是本题的关键。

       1÷5   余数是1

       2÷5   余数是2

       4÷5   余数是4

       7÷5   余数是2

       11÷5  余数是1

       16÷5  余数是1

       22÷5  余数是2

       29÷5  余数是4

   从上可以看出余数的排列规律是：按1、2、4、2、1、、、、、每隔这五个数循环重复出现，周期是5

 2009÷5=401、、、、4   余数是几就是一个周期中的第几个数

所以，第2009个数除以5的余数是2。

 

    小结：解答周期性问题，需要我们具有较强的观察能力，能从数字变化中找出它的周期性变化规律。找周期是关键，找周期的方法往往从出发位置开始，看经过多少步以后又回到起始位置。对于一些较复杂的问题，我们可以借助画示意图或列举部分数字等方法帮助寻找周期。