若：sinα₁=2k₁/(1+k₁²)，余弦：cosα₁=(1-k₁²)/(1+k₁²)，其中，0＜k₁＜1实数；sinα₂=2k₂/(1+k₂²)；余弦：cosα₂=(1-k₂²)/(1+k₂²)，其中，0＜k₂＜1实数。                                 

    经数理推算有：正弦sin(α₁+α₂)=2k₂₀/(1+k₂₀²)；余弦：cos(α₁+α₂)=(1-k₂₀²)/(1+k₂₀²)，正切tan(α₁+α₂)=2k₂₀/(1-k₂₀²)；余切：cot(α₁+α₂)=(1-k₂₀²)/2k₂₀；其中，k₂₀=( k₁+k₂)/(1-k₁ k₂)，0＜k₂₀＜1实数。 正弦sin(α₁-α₂)=2k₂₁/(1+k₂₁²)；余弦：cos(α₁-α₂)=(1-k₂₁²)/(1+k₂₁²)，tan(α₁+α₂)=2k₂₁/(1-k₂₁²)；余切：cot(α₁+α₂)=(1-k₂₁²)/2k₂₁；其中，k₂₁=( k₁-k₂)/(1+k₁ k₂)，0＜k₂₁＜1实数。

    以及多角度sin(α₁+α₂+α₃+…+α_n)=2k_n0/(1+k_n0²) ，k_n0=( k_n-10+k_n)/ (1-k_n-10k_n)； sin(α₁-α₂-α₃-…-α_n)=2k_n1/(1+k_n1²) ，k_n1=( k_n-k_n-11)/(1+k_n-11k_n) 的一个参数计算角度和差化积公式在单位圆内的表达及其证明，不仅能更加形象化地理解一个参数计算角度和差化积公式的数学含义，而且能增加其在实际中的应用价值，为数学界首次发现与披露。

一、一个参数计算角度和差化积公式的几何学证明

1、sin(α₁+α₂)=2k₂₀/(1+k₂₀²) ，k₂₀=(k₁+k₂)/(1-k₁k₂)的几何学证明

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    如上图单位圆内，已知直角△OCD的∠DOC=α₁，OC=cosα₁=(1-k₁²)/(1+k₁²)，CD=sinα₁=2k₁/(1+k₁²)；直角△OFA的∠AOF=α₂，OF=cosα₂=(1-k₂²)/(1+k₂²)，AF=sinα₂=2k₂/(1+k₂²)。求证直角△OBA的∠AOB=α₁+α₂时，AB=sin(α₁+α₂)=2k₂₀/ (1+k₂₀²)，k₂₀=( k₁+k₂)/(1-k₁k₂)。

证明：∵△OBE∽△OCD

∴有OB/OC=BE/CD=OE/OD，其中，OB=OE×cosα₁，OD=1，BE=OE×sinα₁。

又∵△EFA∽△EBO

∴有AE/EO=AF/OB=EF/BE，其中，OF=OE+EF=cosα₂，AF=sinα₂。

即：EF=BE×AF/OB，亦即OF=OE+EF=OE+BE×AF/OB=cosα₂，由OB=OE×cosα₁，BE=OE×sinα₁代入得：

OE+OE×sinα₁×sinα₂/(OE×cosα₁)=cosα₂

OE×cosα₁=cosα₂ cosα₁-sinα₁×sinα₂

上式左边=OB，右边=cos(α₁+α₂)

    由cosα₁=(1-k₁²)/(1+k₁²)、sinα₁=2k₁/(1+k₁²)；cosα₂=(1-k₂²)/(1+k₂²)、sinα₂=2k₂/(1+k₂²)代入上式右边得： OB=cos(α₁+α₂)=cosα₂ cosα₁-sinα₁×sinα₂

                     =[(1-k₁²)(1-k₂²)]/[(1+k₁²)(1+k₂²)]-4k₁k₂/[(1+k₁²)(1+k₂²)]

                  =(1-k₂²-k₁²+ k₁²k₂²-4k₁k₂)/(1+k₂²+k₁²+ k₁²k₂²)

                  =[(1-k₁k₂)²-(k₁+k₂)²]/[(1-k₁k₂)²+(k₁+k₂)²]

                  =[1-(k₁+k₂)²/(1-k₁k₂)²]/[1+(k₁+k₂)²/(1-k₁k₂)²]，用一个参数表示余弦为cos(α₁+α₂)=(1-k₂₀²)/(1+k₂₀²)，则有k₂₀=(k₁+k₂)/(1-k₁k₂)。其它，正弦sin(α₁+α₂)=2k₂₀/(1+k₂₀²)、正切tan(α₁+α₂)=2k₂₀/(1-k₂₀²)、余切cot(α₁+α₂)=(1-k₂₀²) /2k₂₀。

    此证命题正确。

1.1sin(α₁+α₂+α₃+…+α_n)=2k_n0/(1+k_n0²) ，k_n0=( k_n-10+k_n)/(1-k_n-10k_n)的几何学证明

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    上图为单位圆内多角和的三角函数计算公式推导示意图。

    知△A1OG的∠A1OG=α₃，△AOB的∠AOB=α₁+α₂，OG=(1-k₃²)/ (1+k₃²)， A1G=2k₃/(1+k₃²)；OB=(1-k₂₀²)/(1+k₂₀²)，AB=2k₂₀/(1+k₂₀²)，其中k₂₀=(k₁+k₂)/(1-k₁k₂)。

与1、sin(α₁+α₂)=2k₂₀/(1+k₂₀²) ，k₂₀=(k₁+k₂)/(1-k₁k₂)的几何学证明同理

sin∠A1OB1=sin (α₁+α₂+α₃)=2k₃₀/(1+k₃₀²)，其中k₃₀=(k₃+k₂₀)/(1-k₃k₂₀)

以此类推有：

sin(α₁+α₂+α₃+…+α_n)=2k_n0/(1+k_n0²) ，k_n0=( k_n-10+k_n)/(1-k_n-10k_n)

此证命题正确。

2、sin(α₁-α₂)=2k₂₁/(1+k₂₁²) ，k₂₁=(k₁-k₂)/(1+k₁k₂)的几何学证明

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    如上图单位圆内，已知直角△AOB的∠AOB=α₁，OB=cosα₁=(1-k₁²)/(1+k₁²)，AB=sinα₁=2k₁/(1+k₁²)，直角△DOC的∠DOC=α₂，OC=cosα₂=(1-k₂²)/(1+k₂²)，CD=sinα₂=2k₂/(1+k₂²)。求证直角△OFA的∠AOF=α₁-α₂时，AB=sin(α₁-α₂)=2k₂₁/(1+k₂₁²)，k₂₀=(k₁-k₂)/(1+k₁k₂)。

证明：在△OBE中，BE=OB×tanα₂=cosα₁×tanα₂，OE=OB/cosα₂=cosα₁/cosα₂。

在△EFA中，AE=AB-BE=sinα₁- cosα₁×tanα₂

∵△EFA∽△EBO

∴有AE/OE=AF/OB。

即：AF=OB×AE/OE=cosα₁(sinα₁- cosα₁×tanα₂)/(cosα₁/cosα₂)

                  =cosα₂(sinα₁- cosα₁×tanα₂)

                  =sinα₁cosα₂- cosα₁×sinα₂

上式左边AF=sin(α₁-α₂)，右边=sin(α₁-α₂)

由cosα₁=(1-k₁²)/(1+k₁²)、sinα₁=2k₁/(1+k₁²)；cosα₂=(1-k₂²)/(1+k₂²)、sinα₂=2k₂/(1+k₂²)代入上式右边得：

AF=sin(α₁-α₂)=sinα₁cosα₂- cosα₁×sinα₂

                =[2k₁(1-k₂²)-2k₂(1-k₁²)]/(1+k₁²)(1+k₂²)

              =2[k₁-k₂+k₁k₂ (k₁-k₂)]/(1+k₁²k₂²+k₁²+k₂²)

              =2(k₁-k₂)(1+k₁k₂)/[(1+k₁k₂)²+(k₁-k₂)²]

              =2[(k₁-k₂)/(1+k₁k₂)]/[1+(k₁-k₂)²/(1+k₁k₂)²]，用一个参数表示正弦为sin(α₁-α₂)=2k₂₁)/(1+k₂₁²)，则有k₂₁=( k₁-k₂)/(1+k₁k₂)。其它，余弦cos (α₁-α₂)=(1-k₂₁²)/(1+k₂₁²)、正切tan(α₁-α₂)=2k₂₁/(1-k₂₁²)、余切cot(α₁-α₂)=(1-k₂₁²)/2k₂₁。

    此证命题正确。

2.1sin(α₁-α₂-α₃-…-α_n)=2k_n1/(1+k_n1²) ，k_n1=( k_n-k_n-11)/(1+k_n-11k_n)的几何学证明

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    上图为单位圆内多角差的三角函数计算公式推导示意图。

    知△A1OB1的∠A1OB1=α₁，△AOB的∠AOB=α₁+α₂，OB1=(1-k₃²)/(1+k₃²)， A1B1=2k₃/(1+k₃²)；OB=(1-k₂₀²)/(1+k₂₀²)，AB=2k₂₀/(1+k₂₀²)，其中k₂₀=(k₁+k₂)/(1-k₁k₂)。

与2、sin(α₁-α₂)=2k₂₁/(1+k₂₁²) ，k₂₁=( k₁+k₂)/(1-k₁k₂)的几何学证明同理

sin∠A1OA=sin [α₁-(α₂+α₃)]=2k₃₁/(1+k₃₁²)，其中k₃₁=( k₃-k₂₀)/(1+k₃k₂₀)

以此类推有：

Sin[α₁-(α₂+α₃+…+α_n)]=2k_n1/(1+k_n1²) ，k_n1=(k_n-k_n-11+)/(1+k_n-11k_n)

    此证命题正确。

二、三角函数角度和差化积公式隐藏的为人所不知的数学含义

    众所周知，在一个单位圆内，包含了以X轴为余弦、以Y轴为正弦、以半径=1为斜边的无数sin²α₁+cos²α₁=sin²α₂+cos²α₂ =sin²α₃+cos²α₃…=sin²α_i+cos²α_i…=sin²α_n+cos²α_n=1的直角三角形。但少有人知的是：仅以角度值α_i研究探讨这些直角三角形的特性是不够的。

    鲜为人知的是sinα_i、cosα_i的三角函数值为有理数的单位圆内直角三角形应该如何取值。

    更少有人认知(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)=(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)(sin²α₃+cos²α₃)=(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂) (sin²α₃+cos²α₃) ×…×(sin²α_i+cos²α_i)×…×(sin²α_n+cos²α_n)=1的数学含义与应用价值。

1、以sinα=2k/(1+k²)一个参数k架起三角函数与数论的桥梁

1.1边长是有理数直角三角形取值定理

    边长是有理数直角三角形取值定理可以概括为：在一个单位圆内，包含的无数sin²α₁+cos²α₁=sin²α₂+cos²α₂ =sin²α₃+cos²α₃…=sin²α_i+cos²α_i…=sin²α_n+cos²α_n=1的边长是有理数的直角三角形的三边长取值是a=sinα_i =2k_i/(1+k_i²)，b=cosα_i=(1-k_i²)/(1+k_i²)，c=1；0＜k_i＜有理数。

    边长是有理数直角三角形取值用α_i角度值度量是无法完成的。

1.2以sinα=2k/(1+k²)一个参数k有理数还原一个边长是正整数直角三角形

    sinα=2k/(1+k²)的由来是边长为正整数的直角三角形通解式：(2ab)²+(a²-b²) ² =(a²+b²)²，0＜b＜a整数；两边同除(a²+b²)²化为单位圆x²+y ² =1或sin²α+cos²α=1形式为：[2ab/(a²+b²)]²+[(a²-b²)/(a²+b²)]² =1，左边分子与分母同除a²有：[(2b/a)/(1+b²/a²)]²+[(1-b²/a²)/(1+b²/a²)]²=1，命k=b/a代入得：[2k/(1+k²)] ²+ [(1-k²)/ (1+k²)]²=1，所以有理由取sinα=2k/(1+k²)，cosα=(1-k²)/ (1+k²)，0＜k＜1。

    那么，由sinα=2k/(1+k²)一个参数k有理数还原一个边长是正整数直角三角形的步骤为：k取为最简分数有sinα=(2b/a)/(1+b²/a²)=(2ab)/(a²+b²)，同理cosα=(a²-b²)/ (a²+b²)；因为sin²α+cos²α=1，所以有边长为正整数的直角三角形通解式(2ab)²+(a²-b²) ² =(a²+b²)²。

    在边长是正整数的直角三角形的取值中，若排除a、b有公因数，即a、b互素，亦即三边没有同时扩大相同倍数的情形，直角边往往是合数，且2ab是偶数，a²-b²是奇数，那么任意一个数作边长是正整数的直角三角形的直角边的解是有限的；而要作边长是正整数的直角三角形斜边的数，数学界作了只能是4N+1素数的猜想，这是数学界尚未解决的一个数论难题。

    以上说明：边长是正整数的直角三角形与边长是有理数直角三角形的通解式存在完全的一一对应关系，sinα=2k/(1+k²)一个参数k即表示了角度的三角函数值，又能减少边长边长是正整数的直角三角形通解的一个参数，在数论研究中有重大意义。

2、三角函数角度和差化积公式源于多个不同角度的正弦与余弦两数平方和数的乘积

2.1两个不同角度分别的正弦与余弦两数平方和数的乘积表现形式

即(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)

=cos²α₁cos²α₂+sin²α₁sin²α₂+sin²α₁cos²α₂+ cos²α₁sin²α₂

=cos²(α₁-α₂)+sin²(α₁-α₂)…………………………………………………(1)

或  =cos²(α₁+α₂)+sin²(α₁+α₂) …………………………….…………………(2)

亦即：两个不同角度的的正弦与余弦两数平方和数的乘积可以表示为该两个角度和的正弦与余弦两数平方和(见(2)式)与该两个角度差的正弦与余弦两数平方和(见(1)式)。

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    在单位圆内表示的数学含义是：上图中，直角△OHA与直角△ODE均为sin²α₂+cos²α₂=1，其中OH=OD=cosα₂=(1-k₂²)/(1+k₂²)，AH=DE=sinα₂ =2k₂/(1+k₂²)，0＜k₂＜1实数；直角△FOC为sin²α₁+cos²α₁=1，其中OC=cosα₁=(1-k₁²)/(1+k₁²)，CF=sinα₁=2k₁/(1+k₁²)，0＜k₁＜1实数；∠AOB=α₁+α₂，直角△OBA代表了(sin²α₁+cos²α₁)(sin²α₂+cos²α₂)=cos²(α₁+α₂)+sin²(α₁+α₂)的情形，其中OB=cos(α₁+α₂)=(1-k₂₀²)/(1+k₂₀²)，AB=sin(α₁+α₂)= 2k₂₀/(1+k₂₀²)，k₂₀=(k₁+k₂)/(1-k₁k₂)；∠FOE=α₁-α₂，直角△OGF代表了(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)=cos²(α₁-α₂)+sin²(α₁-α₂)的情形，其中OG=cos(α₁-α₂)=(1-k₂₁²)/(1+k₂₁²)，FG=sin(α₁-α₂)=2k₂₁/(1+k₂₁²)，k₂₁=(k₁-k₂)/(1+k₁k₂)。

    以上揭示：两个不同角度和差化积计算公式的本质是源于该两个角度分别的正弦与余弦两数平方和的乘积。其中，直角三角形₁(sin²α₁+cos²α₁)×直角三角形₂(sin²α₂+cos²α₂)=cos²(α₁-α₂)+sin²(α₁-α₂)=cos²(α₁+α₂)+sin²(α₁+α₂)=1而来的cos²(α₁-α₂)+sin²(α₁-α₂)=1与cos²(α₁+α₂)+sin²(α₁+α₂)=1两个直角三角形称之为单位圆内孪生直角三角形。之所以这么称谓，是因为：

    第一，二者均由直角三角形₁(sin²α₁+cos²α₁)×直角三角形₂(sin²α₂+cos²α₂)生成。

    第二，二者是由两个边长是正整数直角三角形斜边长的乘积、即二个不同两数平方和的乘积转化而来。即直角三角形₁(sin²α₁+cos²α₁)对应边长为正整数直角三角形斜边长命为a₁²+b₁²，则k₁=b₁/a₁；直角三角形₂(sin²α₂+cos²α₂=1)对应边长为正整数直角三角形斜边长命为a₂²+b₂²，k₁=b₂/a₂；(a₁²+b₁²)(a₂²+b₂²)=a₁²a₂²+b₁b₂²+a₁²b₂²+a₂²b₁²=(a₁a₂+b₁b₂)²+(a₁b₂-a₂b₁)²或=(a₁a₂- b₁b₂)²+(a₁b₂+a₂b₁)²。

由(a₁²+b₁²)(a₂²+b₂²)=(a₁a₂+b₁b₂ )²+(a₁b₂-a₂b₁)²得一个边长是正整数的直角三角形的解为：

[(a₁a₂+b₁b₂)²+(a₁b₂-a₂b₁)²]²=[2(a₁a₂+b₁b₂)(a₁b₂-a₂b₁)]²+[(a₁a₂+b₁b₂)²-(a₁b₂-a₂b₁)²]²

两边同除[(a₁a₂+b₁b₂ )²+(a₁b₂-a₂b₁)²]²且右边分子分母同除(a₁a₂+b₁b₂)⁴得：

{2(a₁b₂-a₂b₁)/(a₁a₂+b₁b₂)/[1+(a₁b₂-a₂b₁)²/(a₁a₂+b₁b₂)²]}²+{[1²-(a₁b₂-a₂b₁)²/(a₁a₂+b₁b₂)²]/[1+(a₁b₂-a₂b₁)²/(a₁a₂+b₁b₂)² ]}²=1

命(a₂b₁-a₁b₂)/(a₁a₂+b₁b₂)=k₂₁代入得：[2k₂₁/(1+ k₂₁²)] ²+[(1-k₂₁²)/(1+ k₂₁²)]²=1

k₂₁转换，由(a₂b₁-a₁b₂)/(a₁a₂+b₁b₂)=k₂₁得： k₂₁=[( a₂b₁-a₁b₂)/a₁a₂]/[(a₁a₂+b₁b₂)/a₁a₂]

即k₂₁=(k₁-k₂)/(1+k₁k₂)。

此代表(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)=cos²(α₁-α₂)+sin²(α₁-α₂)，其中cos(α₁-α₂)=(1-k₂₁²)/(1+k₂₁²)， sin(α₁-α₂)=2k₂₁/(1+k₂₁²)，k₂₁=(k₁-k₂)/(1+k₁k₂)的情形。

同理，另由(a₁²+b₁²)(a₂²+b₂²)=(a₁a₂-b₁b₂)²+(a₁b₂+a₂b₁)²，可以推导出：它代表(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)=cos²(α₁+α₂)+sin²(α₁+α₂)，其中cos(α₁+α₂)=(1-k₂₀²)/(1+k₂₀²)， sin(α₁+α₂)=2k₂₀/(1+k₂₀²)，k₂₀=(k₁+k₂)/(1-k₁k₂)的情形。

2.2三个不同角度分别的正弦与余弦两数平方和数的乘积表现形式

即(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)( sin²α₃+cos²α₃)

=(cos²α₁cos²α₂+sin²α₁sin²α₂+sin²α₁cos²α₂+ cos²α₁sin²α₂)( sin²α₃+cos²α₃)

=[cos²(α₁-α₂)+sin²(α₁-α₂)]( sin²α₃+cos²α₃)……………………………(1)

或  =[cos²(α₁+α₂)+sin²(α₁+α₂)] ( sin²α₃+cos²α₃) …………………………(2)

由(1)得：(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)( sin²α₃+cos²α₃)

        =sin²(α₁+α₃-α₂)+ cos²(α₁+α₃-α₂) …………………………………(3)

或      =sin²(α₁-α₂-α₃)+ cos²(α₁-α₂-α₃) ………..…………………………(4)

由(2)得：=sin²(α₁+α₂+α₃)+ cos²(α₁+α₂+α₃) ………..………………………(5)

或      =sin²(α₁+α₂-α₃)+ cos²(α₁+α₂-α₃) …….…..……………….………(6)

亦即：三个不同角度分别的正弦与余弦两数平方和数的乘积可以表示为：(α₁-α₂±α₃)和(α₁+α₂±α₃)四个角度分别的正弦与余弦两数平方和表达式(见(3)-(6))。

与2.1两个不同角度分别的正弦与余弦两数平方和数的乘积表现形式同理，三个不同角度分别的正弦与余弦两数平方和数的乘积有：由三个边长是正整数直角三角形的斜边长的乘积、即三个不同两数平方和的乘积转化而来的单位圆内四个孪生直角三角形。

2.3无穷多个(n)不同角度分别的正弦与余弦两数平方和数的乘积表现形式

依2.1两个不同角度分别的正弦与余弦两数平方和数的乘积表现形式和2.2三个不同角度分别的正弦与余弦两数平方和数的乘积表现形式类推。

无穷多个(n)不同角度分别的正弦与余弦两数平方和数的乘积有(α₁-α₂±α₃±…α_i±…±α_n)和(α₁+α₂±α₃±…α_i±…±α_n)共2^n-1个角度分别的正弦与余弦两数平方和表达式。无穷多个(n)不同角度分别的正弦与余弦两数平方和数的乘积有：由n个边长是正整数直角三角形斜边长的乘积、即n个不同两数平方和的乘积转化而来的单位圆内2^n-1个孪生直角三角形。

三、一个参数计算角度和差化积公式的应用价值

    在一个单位圆内，包含的无数sin²α₁+cos²α₁=sin²α₂+cos²α₂ =sin²α₃+cos²α₃…=sin²α_i+cos²α_i…=sin²α_n+cos²α_n=(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)=(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)(sin²α₃+cos²α₃)=(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂) (sin²α₃+cos²α₃) ×…×(sin²α_i+cos²α_i)×…×(sin²α_n+cos²α_n)=1的以一条直角边cosα_i为x轴、另一条直角边sinα_i为y轴的直角三角形。

这些直角三角形中，包含了sin²α_i+cos²α_i=1的一类sinα_i=2k_i/(1+ k_i²)与cosα_i=(1-k_i²)/(1+ k_i²)，k_i有理数的边长是有理数的直角三角形，及其k_i=b_i/a_i，0＜b_i＜a_i，b_i/a_i为最简分数，a_i²+b_i²不存在其它另外两数平方和表达式的独立直角三角形。

同时，也包含了sin²α_i+cos²α_i=1的一类a_i²+b_i²存在其它另外两数平方和表达式的孪生直角三角形。如(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)=1、(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)(sin²α₃+cos²α₃)=1、(sin²α₁+cos²α₁)( sin²α₂+cos²α₂)(sin²α₃+cos²α₃) ×…×(sin²α_i+cos²α_i)×…×(sin²α_n+cos²α_n)=1不仅表示其三角函数和差化积的单位圆内2^n-1个孪生直角三角形；而且背后隐藏着与之一一对应存在的(a₁²+b₁²)( a₂²+b₂²)、(a₁²+b₁²)( a₂²+b₂²)(a₃²+b₃²)、…、(a₁²+b₁²)( a₂²+b₂²)(a₃²+b₃²)×…×(a_i²+b_i²)×…×(a_n²+b_n²)边长是正整数直角三角形斜边长的乘积。以sinα=2k/(1+k²)一个参数k架起三角函数与数论的桥梁，探明单位圆内独立直角三角形与孪生直角三角形的交叉复杂的关系，具有重大的应用价值。

      中国科学院亚热带农业生态研究所研究员莫继荣 长沙410125 手机13517312230

(Institute of Subtropical Agriculture,The Chinese Academy of Sciences. Researcher.MoJiRong .Add:ChangSha, Postal Code:410125.PH:+86-13517312230.E-mail:593286963@qq.com)