中国科学院亚热带农业生态研究所研究员莫继荣 长沙410125 手机13517312230

(Institute of Subtropical Agriculture,The Chinese Academy of Sciences. Researcher.MoJiRong .Add:ChangSha, Postal Code:410125.PH:+86-13517312230)

     Key words :The formula on the sum of  the nth power of natural number

《自然数平方和公式推导及其应用》（http://blog.sina.com.cn/s/blog_4d9ff3d10100cc8t.html）发表以来,得到了数学爱好者的好评。其实，那是自然数平方和公式推导，推广到偶数、奇数自然数平方和以及自然数立方和公式与偶数、奇数自然数立方和求法的一种偶然思路。如何由二项式定理推导自然数的n次幂的求和公式才是该数学问题的完美思路，其研究的结果在现实中具备广泛的现实利用价值和数学理论意义，比如它完全可以代表等差数列N项的高次幂求和的思路与方法。

1.自然数的1至n次幂的求和的递进推导关系

1.1自然数的1次幂的求和  即s=1+2+3+...+n实际上是一个等差为1的等差数列求和,公式为s=n(n+1)/2

1.2自然数的2次与二次以上幂的求和  s=1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+...+Nⁿ(n≥2)不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和。怎样转化为等差数列、怎样由低次幂递进到高次幂这才是研究思路的重点。   

   当n为奇数时，由1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+...+Nⁿ与s=Nⁿ+(N-1)ⁿ+(N-2)ⁿ+...+1ⁿ相加得:

   2s=Nⁿ+[1ⁿ+(N-1)ⁿ]+[2ⁿ+(N-2)ⁿ]+[3ⁿ+(N-3)ⁿ]+...+[(N-1)ⁿ+(N-N-1)ⁿ]+Nⁿ

     =Nⁿ+Nⁿ+Nⁿ+...+Nⁿ加或减去所有添加的二项式展开式数

   =(1+N)Nⁿ减去所有添加的二项式展开式数。

   当n为偶数时，由1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+...+Nⁿ与s=Nⁿ+(N-1)ⁿ+(N-2)ⁿ+...+1ⁿ相加得:

   2s=Nⁿ+[1ⁿ+(N-1)ⁿ]+[2ⁿ+(N-2)ⁿ]+[3ⁿ+(N-3)ⁿ]+...+[(N-1)ⁿ+(N-N-1)ⁿ]+Nⁿ

     =2Nⁿ+2[(N-2)ⁿ+(N-4)ⁿ+(N-6)ⁿ+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数

   又当n为偶数时，由1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+...+Nⁿ与s=Nⁿ+(N-1)ⁿ+(N-2)ⁿ+...+1ⁿ相加得:

   2s=[Nⁿ+1ⁿ]+[(N-1)ⁿ+2ⁿ]+[(N-2)ⁿ+3ⁿ]+...+[(N-N-1)ⁿ+(N-1)ⁿ]

     =2[(N-1)ⁿ+(N-3)ⁿ+(N-5)ⁿ+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=Nⁿ+(N-1)ⁿ+(N-2)ⁿ+...+1的计算公式。

    其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导。

  二项式展开式：

http://www.huanggao.net/course/40430/SX_22_02_012_L/images/index_clip_image002.gif

1.2.1自然数的2次幂的求和  自然数的2次幂的求和是自然数的二次以上幂的求和公式推导的基础，它是自然数偶数次幂的开始和代表。  

命s=1²+2²+3²+…+N²,则有

2s=(N²+1²)+[(N-1)²+2²]+(N-2)²+3²]+…+{[N-(N-1)]²+N²}

  =(N-1)²+2N+(N-3)²+2×2(N-1)+(N-5)²+2×3(N-2) +…+(N-1)²+2N [N-(N-1)]

  =2[(N-1)²+(N-3)²+(N-5)²+…+1或0](其中N为偶数时取1,N为奇数时取0)

+2N+2×2(N-1)+2×3(N-2)+…+2N [N-(N-1)]

  = 2[(N-1)²+(N-3)²+(N-5)²+…+1或0]

+2N(1+2+3+…+N)-2[2×1+3×2+…+N (N-1)]

  =2[(N-1)²+(N-3)²+(N-5)²+…+1或0]+N²(1+N)

-2[1-1+2×(2-1)+3×(3-1)+…+N (N-1)]

  =2[(N-1)²+(N-3)²+(N-5)²+…+1或0]+N²(1+N)

-2(1+2²+3²+…+N²-1-2-3-…-N)

即4s=2[(N-1)²+(N-3)²+(N-5)²+…+1或0]+N²(1+N)+N(1+N)……………………………….(1)

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