罗浮中学高二数学公开课，开课教师：叶星尧，班级高二（11）班。

专题2.2 函数的单调性与值域（讲）

【考试要求】

1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性.

2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.

【高考预测】

以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性结合，有时与导数综合考查.

【知识与素养】

知识点1．函数的单调性

（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；

（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有

，那么就说函数在区间上是减函数.

【典例1】（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是（    ）

A．           B．y=            C．        D．

【答案】A

【解析】

函数 ，

 在区间 上单调递减，

函数 在区间 上单调递增，故选A.

【规律方法】

复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．

知识点2．函数的最值

1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得.

那么，我们称是函数的最大值.

2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得.

那么，我们称是函数的最小值.

【典例2】已知 ，函数 在区间 上的最大值是2，则 __________．

【答案】3或

【解析】当 时， =

函数 ，对称轴为 ，观察函数   的

图像可知函数的最大值是 .

令 ，经检验，a=3满足题意.

令 ，经检验a=5或a=1都不满足题意.

令 ，经检验 不满足题意.

当 时， ,

函数 ，对称轴为 ，观察函数   的图像得函数的最大值是 .

当 时， ,

函数 ，对称轴为 ，观察函数   的图像可知函数的最大值是 .

令 ，

令 ,所以 .

综上所述，故填3或 .

【总结提升】

求函数最值（值域）的常见方法：

1.单调性法： 利用函数的单调性:若 是上的单调增(减)函数,则, 分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.

2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.

3. 利用配方法:形如型,用此 种方法,注意自变量x的范围.

4.利用三角函数的有界性,如 .

5.利用“分离常数”法:形如y=  或 ( 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.

6.利用换元法:形如型,可用此法求其值域.

7.利用基本不等式法:

8.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域

9.求分段函数的最值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

     10.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部

     分剔除.

【重点难点突破】

考点1  单调性的判定和证明

例1. （2020·浙江省富阳中学高三三模）函数 （其中m R）的图像不可能是（   ）

A．                                   B．

C．                                    D．

【答案】C

【解析】

对m分类讨论，利用对勾函数的单调性，逐一进行判断图像即可.

【详解】

易见 ，

当 时 ，图像如A选项；

当 时， 时 ，易见 在 递增，得 在 递增；

时 ，令 ，得 为对勾函数，

所以 在 递增， 递减，

所以根据复合函数单调性得 在 递减， 递增，图像为D；

当 时， 时 ，易见 在 递减，故 在 递减；

时 为对勾函数，

       所以 在 递减， 递增，图像为B.

因此，图像不可能是C.

故选：C.

【总结提升】

掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法

(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．

(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．

(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．

【变式探究】

（2019·贵州高三高考模拟（文））关于函数 的下列结论，错误的是（   ）

A．图像关于 对称

B．最小值为

C．图像关于点 对称

D．在 上单调递减

【答案】C

【解析】

由题意可得： ，

绘制函数图像如图所示，

观察函数图像可得：

图像关于 对称，选项A正确；

最小值为 ，选项B正确；

图像不关于点 对称，选项C错误；

在 上单调递减，选项D正确；

故选：C.

考点2  求函数的单调区间

例2.（新课标高考真题）函数 的单调递增区间是（    ）

A. B.    C.    D.  

【答案】D

【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .

故选D.

例3.（2020·四川省绵阳南山中学高三月考（理））函数的单调递减区间是________.

【答案】

【解析】

由，分段讨论出函数的单调区间，从而得出答案.

【详解】

由

当时，开口向上，对称轴方程为，所以在上单调递增.

当时，开口向下，对称轴方程为

所以此时在上单调递增，在上单调递减.

故答案为：

【总结提升】

确定函数的单调区间常见方法：

1.利用基本初等函数的单调区间

2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.

3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为 ，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.

4.导数法：不等式的解集与函数 的定义域的交集即为函数 的单调递增区间，不等式的解集与函数 的定义域的交集即为函数的单调递减区间.

【变式探究】

1.函数 的单调递增区间是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

得 或 ，

令 ，则 为增函数，

在 上的增区间便是原函数的单调递增区间，

原函数的单调递增区间为 ，故选D.

2.（2020·巴彦淖尔市临河区第三中学高三月考（理））已知函数

（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象.

（2）写出此函数的单调区间，并写出值域.