学习目标

1、  理解平面向量数量积的概念；

2、  掌握两向量夹角的概念及其取值范围；掌握向量数量积的性质。

学习重点

平面向量数量积的概念

学习难点

向量数量积及其重要性质

                       导学设计

一.课前预习

1.向量的夹角定义                                                             

（1）向量的夹角范围是                        （2）当 与 同向时 =           ；当 与 反向时 =         当 则称向量 与            ，记作           

2.向量除了与实数相乘之外，还有别的“乘法”吗？如图示：物理课中，物体在力 的作用下发生的位移是 ，（其中 是 与 的夹角），那么该力对物体所做的功是多少？

功是数量还是向量？

3.向量数量积的定义                                                            

我们规定：                                      

注意：向量数量积的“乘积”符号“ ”既不能省略，也不能写成“×”。

4.向量的数量积的性质  设 、 为两个非零向量，

① ^  Û ×  =       

②当 与 同向时， ×  =          ； 当 与 反向时， ×  =       ______________,特别地 ×  =       ___或  =          ;

③夹角公式：cosq =                  ；    

④| × | ≤                 ;

⑤若 是与 方向相同的单位向量，则                    ．

5．数量积的几何意义：

（1）投影的概念：

如图， ，，过点 作 垂直于直线 ，垂足为 ，则 ．

叫做向量 在 方向上的投影，当 为锐角时，它是正值；当 为钝角时，它是一负值；当 时，它是 ；当 时，它是 ；当 时，它是 ．

(2)几何意义

【练习】：①已知 ， ， 与 的夹角 ，则       ；

②已知 ， 在 上的投影是 ，则    ；

③已知 ， ， ，则 与 的夹角       ．

6.向量的数量积有哪几条运算律？

求证：

思考：（1）结合律：( )×  = 正确么？为什么？

（2）若 （ ）则 么？

二.例题讲解

例1：已知｜ |=5，| |=4, 分别求下列条件的 •

（1） 与 的夹角θ＝120°    （2）     （3）

例2．判断正误，其中正确的有______________.

① · = ；  ② · = ； ③ - = ；    ④ =| || |；

⑤若 ，则对任一非零 ，有 ；

⑥ =0，则 与 至少有一个为 ；

⑦对任意向量 、 、 都有( )· = ·( × )；

⑧ 与 是两个单位向量，则 = .

例3：求证：（1）

（2）

例4：已知｜ |=6，| |=4, 与 夹角为60°求

（1）（ ＋2 ） （ －3 ）；（2）

练习：:

1、 已知 ,求向量 与向量 的夹角.

2、若非零向量 与 满足 ，则 ________

3、 已知 ， ， ，且 ，求 ．

．

4.已知 不共线，k为何值时，向量 互相垂直?

5.已知| |=2,| |= ， 与 的夹角为 ，要使 - 与 垂直，则 .

6、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.