丰盈教材：让学习自然发生
——以《比的意义》教学为例
南京师范大学附属中学新城小学 刘正松

分数、除法、比是有着密切联系的数学概念，很多情况下它们是相同数量关系的不同表示形式。随着《义务教育数学课程标准（2011年版）》的颁布，各种版本的教材先后修订了前期的实验教材，最新修订的苏教版六年级上册教材把原来实验教材“分数除法”和“比”合并成一个单元，毫无疑问，如此修订更有利于学生体会知识间的联系，构建模块化的知识系统。
仔细比对两个版本教材中关于“比的意义”的编排，大同小异。修订版教材第一个例题主要教学两个同类量的比。教材首先呈现了2杯果汁和3杯牛奶的实物图，并提出“果汁和牛奶的杯数之间有什么关系”这一问题，引导学生利用已有的知识和经验描述两杯果汁之间的关系，接着，结合学生可能出现的用分数或除法表示的两个数量的关系，说明两个数量之间的关系还可以用比来表示。同时指出：果汁与牛奶杯数的比是2比3，牛奶与果汁杯数的比是3比2，然后介绍比的写法以及比各部分名称。第二个例题主要教学两个不同类量的比。教材创设了小军和小伟走一段山路的问题情境，要求学生根据已知的路程和时间，分别求出小军和小伟行走的速度，然后向学生说明，也可以用比来表示路程和时间的关系，并分别表示出小军和小伟走的路程和时间的比。在这两个例题的基础上，教材引导学生回顾学习过程，讨论两个数相除的关系可以怎样表示，并通过交流，概括出比的意义。
纵观这样的教学过程也无可厚非，但多年的教学实践告诉我，仅凭两个例子就试图概括的比的意义，比较牵强，自然，在不改变知识本质的前提下，如何让例题尽可能地贴近学生的现实，利于学生自觉地抽象出数学知识与方法成为我再次执教“比的意义”一课的出发点与归宿。
片段一：创设情境，引出“比”
师：（出示：芭蕾舞图片）同学们，看过芭蕾舞吗？芭蕾舞是一种高雅的舞台艺术，舞蹈演员在跳芭蕾舞时都很特别——
生：踮着脚。
师：对，这是为什么呢？其实这里面也蕴含了一些数学知识，通过今天这节课的学习，相信大家就能明白其中的道理。现在让我们把目光拉回我们的班级，课前老师调查了我们班的男女生人数。
出示：男生18人 女生13人
师：你能用以前学过的知识描述我们班男女生人数之间的关系吗？
生1：男生比女生多5人，女生比男生少5人。
生2：男生人数是女生的 ，女生人数是男生的 。（板书两个分数）
师：同学们反应特别迅速，这里“多5人、少5人”表示的是男女生人数之间的相差关系，而“ 、 ”则表示男女生人数之间的倍数关系。数学上，“男生人数是女生的 ”我们还可以说成“男生人数与女生人数的比是18比 13”。
师：这样看来，“女生人数是男生人数的 ”可以怎样说成——？
生：女生人数与男生人数的比是13比18。
课堂伊始，通过“芭蕾舞演员踮着脚跳舞”这一现象勾起学生学习的兴趣，点燃学生探究的热情，同时准确找寻新旧知识的连接点，以“你能用以前学过的知识描述我们班男女生人数之间的关系吗”这一问题引领学生展开全课的学习，并顺承学生的思维，自然引出本节课的核心概念——比。
片段二：自主探索，认识“比”
1.自学比的写法和各部分名称。
2.初步感知“比”。
师：课前老师也调查了六（2）班男女生人数之间的关系。
出示：六（2）班男生人数与女生人数的比是5:4。
师:读读这句话，你觉得六（2）班男生多还是女生多？
生：男生多。
师：感觉真不错，确实是这样的。那比比“18:13”和“5:4”这两个比，你能不能就判断我们班的男生一定比六（2）班男生多呢？
生：不能，这里的5和4不表示具体的人数，表示六（2）班总人数中，男生占5份，女生占4份。
3.深入理解“比”。
师：前几天老师在网上浏览到这样一条信息：“京沪高铁南京南站”是亚洲最大的枢纽站，从南京到北京约1000千米的路程，原来大约要10小时到达，现在大约4小时就可以到达。
师：从这条信息中，你能找到一些比吗？
学生独立思考，同桌交流。
生1：原来时间和现在时间的比是10:4。
生2：现在时间和原来时间的比是4:10。
师：眼力不错，一下子就找到了两个不同的比，不过老师从这条信息中还能找到新的比。一起来看—— （出示：1000：10）
师：读读这个比，你知道这是谁与谁的比吗？
生：1000:10是路程与时间的比。
出示： 路程：时间
师：说得不错，我们知道路程与时间有这样的相除关系（出示：路程÷时间=速度），通常我们把路程除以时间又说成路程与时间的比。
师：受老师的启发，现在你还能从这条信息中找到新的比吗？
生：1000:4。
师：这是谁与谁的比呢？
生：路程与现在时间的比。
师：其实，除了在“路程÷时间=速度”这一数量关系中我们能找到比，在我们学过的其他数量关系中，同样能找到比。比如——
出示：
师：解决这样的问题，你能想到什么数量关系式？
生：总价÷数量=单价。
师：从中你能找到比吗？
生：足球总价与数量的比是240:3。（出示：总价：数量=240:3）
接着出示：

师：从这幅图中你又想到什么数量关系式呢？
生：长方形的面积÷长=宽。
师：那么你又能想到什么比呢？
生：长方形面积和长的比是60:10。（出示：面积：长=60:10）
师：（屏幕集中出示所有例子）刚才我们认识了这么多比的例子。现在你觉得两个数的比就表示两个数之间怎样的关系？
生：表示两个数相除的关系。
师：确实，两个数相除又可以叫作两个数的比。（板书）。
这里改编例题，从班级男女生人数到一则网络信息，在巩固同类量比的同时，巧妙地引出不同类量的比，课堂教学一气呵成，层层深入，逐步完善学生对比的认识，真正感悟到比的意义，使学生对比的理解既丰富又透彻。
片段三：应用拓展，深化“比”
师：（出示：2:1）在作业本上画△和○，使△与○个数的比是2:1，比比谁的方法最简洁。
学生独立设计。
展示学生作业：△△○ △○△ ○△△
师：我们以△△○为例，如果画出这样的两组，你能说出△与○个数的比吗？（出示：△△○△△○）
生：4:2。
师：如果再画一组呢？（出示：△△○△△○△△○ ）
生：△与○个数的比是6:3。
接着出示：△△○△△○△△○……△△○
师：现在你知道△与○个数的比吗？
生（思考片刻）：2:1。
师：咦？怎么还是2:1呢？
生：我们把所有的○看作1份，那么△相当于这样的2份，所以△与○个数的比是2:1。
师：这样看来，刚才△△○△△○和△△○△△○△△○也可以用什么比表示？
生齐：2:1。
这里，在学生理性认识比的基础上，通过动手创造比，进一步认识比的内涵，深化学生对比的理解。在特殊的情境中，学生感知着“比的基本性质”，在进一步沟通比、分数和除法的关系的同时大大丰富了学生对比的认识，学生的思维也在这样的过程中得以发展。
回味整节课，当我提问“你觉得两个数的比就表示两个数之间怎样的关系？”时，学生纷纷顿悟出“相除关系”，相信此时学生的内心会有一种豁然开朗的敞亮，而成就这一敞亮的正是众多鲜活素材的融入。
一、改换教材：让素材贴近学生
“教材只是个例子”，这个例子应该尽量贴近学生的现实，但问题是现行的教材并不只是为某个地区、某个学校、某个班级学生量身定做的，为了兼顾使用范围更为广阔的地区的学生，它只能选取大众化的例子。这样的例子对生活背景、数学现实截然不同的学生而言，自然略显苍白。
为了消除学生对呈现内容的素材的陌生感，我们在设计教学时，理应在关注学生现实的基础上，精当地改换成离学生生活、学习更近的例子。这在《比的意义》一课的教学中尤为突出，我在充分研读教材的基础上，对教材中的两个例题进行了改换，将教材中关于果汁与牛奶的例子改换为班级男、女生人数，从学生人数之间的关系说起，一点也不突兀，在师生轻松的对话中首先认识了同类量的比。教学不同类量的比时，我将教材中直接用表格呈现的关于“路程、时间和速度”的例子改换成一段关于“南京南站”的文字材料，并巧妙地将同类量的比和不同类量的比融于其中，紧扣学生的认知基础，在学生主动找同类量比的同时，不露痕迹地引出不同类量的比，过渡自然。
这样，学生始终围绕身边的事例学习，倍感亲切，久而久之，数学那种惯有的高深感荡然无存。
二、增删教材：让学习体验丰富
由于教材受版面、篇幅等自然条件的限制，对于同一知识点不可能呈现更多的例子引领学生学习，一般都是一个例子承载一个知识点。但反观学生的学习过程，仅凭一个例子就希望学生能深刻地掌握某一知识技能显然不够现实。为此，我们教师在设计教学时应根据学情，适度增加一些例子，以拓宽学生的思路，丰富学生的学习体验。
《比的意义》一课的教学，倘若在教材两个例题的基础上就尝试归纳概括比的意义，看似也合情合理，但学生没有太多的感受，此时，“两个数相除又叫做两个数的比”只是一串无意义的文字符号，作为一个核心概念，如此处理略显单薄，概念本身的构建尚不牢固，更谈不上向相关联知识的衍生、拓展了。在反复的磨课中，我最终确定不急于引领学生去归纳比的意义，而在两个例题后增加了一些例子：其一，在本班男女生人数比后面增加一个六（2）班学生人数比，并与本班学生人数比进行比较；其二，在“南京南站”的文字材料后趁热打铁，连续呈现用“总价÷数量=单价”和“长方形的面积÷长=宽”这两个数量关系解决的问题情境，让学生在不同的情境中一次次地与“比”不期而遇。至此，学生积累了丰富的有关比的认识，比的意义在学生的脑海中已呼之欲出，当屏幕再次呈现学生经历的所有比，并追问“你觉得两个数的比就表示两个数之间怎样的关系？”时，学生感受非常深刻，不难想象，在如此丰富的经历中建构起来的“比的意义”一定会更加坚固。
当然，也并非所有的课中都需一味的增加素材，有些课中，我们可以将部分重复的练习删除，减轻学生过重的学习负担，让他们有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。
三、重组教材：让知识自然生长
教材只是根据教学大纲提出的一般的教学内容，教师在备课时，应从学生角度，用学生的思维和已有经验去思考：怎样才能更贴切地反映知识的发生和形成过程，使学生“再创造”知识的过程真实自然。其实，就一课教材或一组教材而言，其内容呈现的顺序，在许多时候若能进行适当的调整，可能更适合学生头脑中知识的链接、衍生。
上述教学中，在揭示比的意义后，组织学生对比、分数和除法进行了对比，学生在交流讨论中统一了认识：a:b=a÷b= (b≠0),但我总觉得就此打住有点意犹未尽，反复斟酌后，我大胆重组了教材，将下节课有关“比的基本性质”的内容有机融合到练习中。课上，当我出示“在作业本上画△和○，使△个数与○个数的比为2:1”时，学生并未能感知到什么，只是尝试着用不同的方法表示出2:1，一共出现了三种方法。随后，我以“△△○”为例，又出示了一组，学生自然会看出4:2，接着我再出示一组，学生异口同声地报出：“6:3。”与此同时，已经有学生抢着说：“后面是8:4。”也有学生开始叽叽喳喳：“就是2:1。”我不置可否，而是继续出示“△△○△△○△△○……△△○”，这一回打破了大部分学生固有的思维，也再次推动了所有学生的思维，不一会儿，“2:1”的声音响彻教室。这一环节，学生主动感知了“比的基本性质”，虽说这不是本节课的教学内容，但这一练习引领学生主动地再创造着“比的基本性质”，有了这样的经历，下节课学生系统探究“比的基本性质”时定会更为顺畅，轻松实现了知识的自然生长。
值得注意的是，我们的调整是为了学生更好的掌握知识，发展智能，绝不能为重组而重组，打破原教材的整体性。
综上所述，只要我们不违背教材的基本原理、基本内容、基本思想、基本方法，讲授教材上的知识时所用的方法应是仁者见仁，智者见智，应充分发挥自身的创造性，丰盈教材内容，让学生的学习更自然地发生。