第五讲（分为两小节）我们学习了空间中直线、平面间的垂直关系：第（1）节主要讲述直线与平面垂直的判定及性质，第（2）节主要讲述平面与平面垂直的判定及性质．其中，“线线垂直”是空间中一切垂直关系的基础．而且我们发现“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”三者之间并不孤立，而是相互联系，可以相互转化的，如图．

注释：处：直线与平面垂直的判定定理．

处：直线与平面垂直的定义；5.1节性质1．

处：平面与平面垂直的判定定理．

处：平面与平面垂直的性质定理．

处：平面与平面垂直的定义．

处：平面与平面垂直的定义；分别与两个垂直平面都垂直的两条直线互相垂直．

处：三垂线定理及其逆定理．

处：需借助“平行条件”，5.1节性质2．

处：需借助“平行条件”，见下一节．

“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”好比三座城市，它们之间有6条道路相互连接，“垂直”好似一个指挥中心，调度协调着三座城市的交通往来．比如现在要到达“线面垂直”，我们就有两条路可走：一是从“线线垂直”过去，二是从“面面垂直”过去．再比如我们现在要到达“面面垂直”，可以从“线线垂直”直接过去，也可经由“线面垂直”绕过去．

“平行”与“垂直”的逻辑闭环推理结构可类比从郑州坐高铁到重庆以及从武汉坐高铁到西安的例子．现在从郑州到重庆需绕经武汉：

郑州想为啥总是要绕到你武汉走呢？不仅距离远不说，而且宜昌到重庆那段普通铁路真心隧道多时速低，不行！我要修一条直达高铁绕过你武汉，这就是2019年年底河南段即将通车的郑渝高铁，以后从郑州到重庆就可以一条斜线直达了：

而武汉到西安则是类似的情况，现在从武汉到西安需绕经郑州：

武汉想为啥总是要绕到你郑州走呢？不仅距离远不说，而且……好像也找不到啥别的理由了，不管了！我要修一条直达高铁绕过你郑州，这就是2019年年底湖北段（汉十高铁）即将通车的西武高铁，以后从武汉到西安就可以一条斜线直达了：

高铁建设上，国家尽量在追求运输的最短路径；数学逻辑中，我们也要追寻推理的最佳路径．在交通枢纽的地位上，郑州与武汉两相竞争，都说自己是“米字型”高铁的中心．就目前来看，郑州已经完成了“一纵（京广高铁）”与“一横”（徐兰高铁）；“起笔两点”（郑太高铁和郑济高铁）与“一撇一捺”（郑渝高铁和郑合高铁）有些已经部分通车，并预计都在2020年底建成通车．和郑州相比，武汉的“米字型”高铁略显成色不足，“一纵”与郑州一样，同是京广高铁，“一横”的沪蓉沿江高铁还未动工（网传2020年）；“起笔两点”的西武高铁正在建设，合武高铁还在勘察设计之中；“一撇”的渝武高铁正在建设，而“一捺”则还是未知．

同是国家级中心城市，在高铁建设上，郑州比武汉更胜一筹，这和城市定位是相吻合的——国家对郑州的定位是“国家重要的综合交通枢纽”，对武汉的定位则是“综合交通枢纽”．同是空间中重要的位置关系，在相互转化上，“平行”比“垂直”更胜一筹，“平行”的逻辑闭环推理结构是完整的，是丰富的，而“垂直”的逻辑闭环推理结构则不是那么“严丝合缝”，如处的推理实际上是“面面垂直”＋“线线垂直”“线面垂直”，处的推理常需要“线面垂直”的介入，处的实际推理路径是＋；有时还要“平行”参与其中，如、两处等．