和差问题

换一种方式看教育 换一种眼光看学生

教学目标.

1.会判断什么样的应用题属于和差问题．已知两个数的和以及两个数的差，要分别求这两个数就属和差问题，并掌握和差问题的特性，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备．

2.总结归纳出解决和差问题的方法，并解决一些实际问题． 知识点拨：

和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。 为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，

方法如下：

方法一： (和+差)÷2=大数 和-大数=小数 方法二： (和-差)÷2=小数 和-小数=大数 例题精讲

基本的和差问题

例1．两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？

【解析】本题也是和差问题的基本题型，借助线段图来分析如下：

方法一：把第二筐多的10千克减掉，看成两个第一筐的重量来计算．

第一筐列式：（150-10）÷2=70（千克），第二筐：70+10=80（千克）．

方法二：把第一筐少的10千克补上，看成两个第二筐的重量来计算．

第二筐列式：（150+10）÷2=80（千克），第一筐：80-10=70（千克）

例2.甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问

甲、乙两人每分钟各打多少个？

 

【解析】首先要理解2分钟共打了240个字，那么甲、乙两人一分钟就打了240÷2=120（个）．这

样就转换成典型和差问题了．

方法一：甲：（240÷2+10）÷2=65(个) 乙：65-10=55(个) 

方法二：乙：（240÷2-10）÷2=55(个) 甲：55+10=65（个） 

在研究完这两种方法以后，老师要注意引导学生来总结和差问题的解决方法．解答和差问题的应用题，可以先画出线段图，从线段图上找到大数和小数，并找到解决方法． (两数的和－两数的差)÷2=较小的数 较小的数+两数的差=较大的数 (两数的和+两数的差)÷2=较大的数 较大的数－两数的差=较小的数

例3.两个连续奇数的和是36，这两个数分别是多少？

【解析】两个连续奇数的差是2,利用和差公式解答如下．

较大数：（36-2）÷2=17 较小数：36-17=19 

例4．甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这

样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人？

【解析】这道题虽然只告诉了我们两个数的和，但是两数的差属于隐藏条件．由甲校转入乙校20

人，这样甲校比乙校还多10人，实际上甲校比乙校多20x2+10=50 (人)，找到了隐藏的差，就转变成了典型的和差问题．

列式：乙：（1050-50）÷2=500 (人) 甲：1050-500=550 (人) 

例5.有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米．每块布料各长

多少米？

 

【解析】先画线段图，从线段图可以看出，以第一块为标准，第二块减少20米，第三块减少

20+30=50 (米)，总和减少20+50=70 (米)，即190-70=120(米)．120米相当于第一块布料长的3倍，求出第一块布料的长度，第二块、第三块就可以求出．

第一块布料长度的3倍是：190-（20+20+30）=120 (米)  第一块布料的长度是： 120÷3=40(米) 第二块布料的长度是： 40+20=60(米) 第三块布料的长度是： 60+30=90(米)

例6甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，

甲、乙两个仓库原有大米各多少包？

【解析】乙比甲多8x2=16（包）

 甲：（56-16）÷2=20（包） 乙：56-20=36（包）

答：甲仓库有大米20包，乙仓库有大米36包．

课外拓展

1．果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？

【解析】方法一：桃树：（260+20）÷2=140（棵） 梨树：140-20=120（棵） 

方法二：梨树：（260-20）÷2=120（棵） 桃树：120+20=140（棵） 

答：桃树有140棵，梨树有120棵．

2.有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？

 【解析】第一段：（12-2）÷2=5 (米) 第二段：12-5=7 (米)

答：第一段长5米，第二段长7米．

3.陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米？ 【解析】陈红和李玲平均身高为130厘米，她们身高的和为：130x2=260 (厘米)

方法一：陈红：（260+8）÷2=134 (厘米) 李玲：134-8=126 (厘米) 

方法二：李玲：（260-8）÷2 =126 (厘米) 陈红：126+8=134（厘米） 

4.长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？

 

【解析】长方形一周的长是指两条长和两条宽的和，由条件可知一条长与一条宽的和为

400÷2=200 (米)，由此我们就知道了长和宽之和是200米，又知道长和宽之差是80米，根据和差问题来解答：

方法一：长：（200+80）÷2=140 (米) 宽：140-80=60（米） 

方法二：宽：（200-80）÷2=60 (米) 长：60+80=140（米） 

5.丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁语文和数学

各得了多少分？

 

【解析】在这道题中，我们已知丁丁数学成绩比语文成绩多2分，也就是知道了数学成绩和语文

成绩之差，如果找到数学成绩和语文成绩之和，就转换成和差问题来解答了．又因为知道了语文和数学的平均分是91分，那么两科成绩之和就是91x2=182（分）．

方法一：数学：（182+2）÷2=92（分） 语文：92-2=90（分） 

方法二：语文：（182-2）÷2=90（分） 数学：90+2=92（分） 

6.图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数

相等．求原来上、下层各存书多少本？

 

【解析】根据从上层拿出10本放入下层后两层书架上

的书同样多，可以知道上层书架上的书比下层书架上的书多2个10本，如果从上层书架中减去10x2=20（本)，就和下层书架上的书同样多，那么上、下两层书架上书的总数减少了20本，这时上、下两层书架上的书的总数就相当于下层书架上书的2倍．

方法一：下层：（220-20）÷2=100 (本) 上层：220-100=120 (本) 

方法二：上层：（220+20）÷2=120（本）下层：220-120=100（本） 

7.有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千

克．问：原来大、 小两个油桶各装油多少千克？

【解析】两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克，那么也就是说大桶比小桶多4

千克的油，知道这两桶油的和，又找到了这两桶油的差，这道题就变成了典型的和差问题的应用题了．

方法一：大桶：（24+4）÷2=14（千克） 小桶：14-4=10（千克）

方法二：小桶：（24-4）÷2=10（千克） 大桶24-10=14（千克）

 8.两箱图书共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本．甲、乙两箱原有图书各多少本？ 【解析】已知甲箱借出10本图书后，比乙箱少4本，可知甲箱原来比乙箱多10-4=6（本）图书．

方法一：甲箱：（66+6）÷2=36（本） 乙箱：36-6=30（本） 

方法二：乙箱：（66-6）÷2=30（本） 甲箱：30+6=36（本） 

9．方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本．问：方方和圆

圆原来各有图书多少本？

解析】方方给圆圆5本后，圆圆比方方多4本．，那么芳芳比圆圆多5×2-4=6（本）图书．原来

方方有：（70+6）÷2=38（本），圆圆有：38-6=32（本）．

10.甲、乙、丙三个数的和是105，甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，求丙数．

【解析】已知甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，可求出甲数比丙数多4+4=8．如果甲数少8，

乙数少4，则甲、乙、丙三数相等，，差正好是丙的3倍，除以3便可求出丙

数： 105-（8+4）=93 

  丙数：  93÷3=31 

答：丙数是31。

11.锐英教育新进99本书，分给三、四、五三个年级，三年级比四年级多分了2本，四年级 比五年级多分了5本，三个年级各分得多少本书?

【解析】我们用图来表示题意：

此题从两个数量扩展到三个数量．已知三年级比四 年级 多分了2本，四年级比五年级多分了5本，从线段图上可以清楚地看出：三年级比五年级多分了2＋5＝7(本)．如果三年级少拿7本，四年级少拿5本，那么书的总数就要减少7＋5＝12(本)，总共就是99－12＝87(本)．87本相当于五年级所有的书本数的3倍，由此可以算出三年级四年级五年级三人各自书本的数量．

五年级：[99－(2＋5)－5]÷3＝29(本) 四年级：29＋5＝34(本) 三年级：34＋2＝36(本)

12.草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只．黑兔、白兔、

灰兔各有多少只？

 

【解析】画图分析：黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只，把黑兔比白兔多的，补到灰兔比白

免少的部分，这样黑兔、白兔、灰兔共27只也可以看成是3倍白兔这么多，因此可以先求出白兔的只数．

列式：白兔：27÷3=9（只）黑兔：9+2=11（只） 灰兔：9-2=7（只）

13.一个三层书架共放书108本．上层比中层多放11本，下层比中层少放5本，上、中、下三层 各放书多少本?

【解析】 中：（108-11+5）÷3=34（本），上：34+11=45（本），下：34－5=29（本）。 评析：（1）此题用画线段图的方法会更直观，易懂。

（2）这道题原题的解法是先求中层的书，这样比较简单.为了更好的锻炼学生对这道题的

理解，建议老师可以让学生自己练习先求上层的书的数量，或者先求下层书的数量。

 

14.如右图，4个一样大的长方形和1个小正方形拼成了1个大正方形。大正方形的面积是64平

方分米，小正方形的面积是4平方分米，问长方形的宽是几分米？

【解析】对64和4进行拆分：64=8×8；4=2×2。所以，大正方形的边长为8，

即长方形长与宽的和为8；小正方形的边长为2，即长方形长和宽的差为2。所以，长方形的宽为：（8-2）÷2=3（分米）。

 

15.大象、老虎、猴子三只动物的年龄中，大象和老虎共90岁，大象和猴子共70岁，老虎和猴子共40岁，你算一算，三只动物各多少岁？

【解析】大象、老虎、猴子三只动物的年龄和：（90+70+40）÷2=100（只） 

大象的年龄：100-40=60（岁） 

老虎的年龄：100-70=30（岁） 

猴子的年龄：100-90=10（岁）

答：大象60岁，老虎30岁，猴子10岁． 

解法2，利用和差问题解决

1 大象+老虎=90岁

2 大象+猴子=70岁

3 老虎+猴子=40岁

观察1和2 式子 都有大象 说明老虎比猴子大 90-70=20岁（老虎与猴子的差） 第3个式子 是老虎与猴子的和。 利用和差 再解决。

16.附加题 .

甲乙二人到书店买同一本书，看了书定价后，甲还缺少5元，乙还缺6.2元，两人的钱合起来共16.8元，问两人合买一本，他们的钱够吗？如果够还剩多少？

方法一：因为他们买的同一本书，甲比乙多带6.2-5=1.2元。 甲的钱：（16.8+1.2）÷2=9元

书钱：9+5=14元 16.8-14=2.8元 方法二：假设给甲 5元，再给乙6.2元，他们一共就有16.8+5+6.2=28元 两本书的价钱。 书：（16.8+5+6.2）÷2=14元 16.8-14=2.8元