不少小学数学教师问过我这样一个问题:“在整数除法中,余数可不可以为0?”这个问题早有定论,于是我不假思索地肯定作答:“余数当然可以为0。”

二、解惑所需的思辨

　　要用对立统一的观点看待0

　　众所周知,当盘子中连一个桃子都没有时,我们就说这盘中桃子的个数为0。从这个意义上讲,0是空集的基数,0表示“没有”。然而,0又是一个确定的数,它是自然数列的起始数,它既不是正数,也不是负数,它是唯一的中性数。从这个意义上讲,0又表示“有”。这一点不难理解。比方说,小明在黑板上写了一个“0”,你总不能说他什么都没写吧!再比方说,某地某时的气温为0摄氏度,你总不能说该地该时没有温度吧!所以,我们应该用对立统一的辩证观点看待0,懂得0既可表示“无”,又可表示“有”。用这一观点考察整数除法,我们不难发现,当15÷5时,得到整数商3,既可以说“没有余数”,也可以说“余数为0”,这两种说法是完全等价的,因而都是正确的。

附：《小学数学教师手册》(人民教育出版社,1982年)第49页有如下表述:

　　“判定一个整数能不能被另一个正整数整除,只需进行除法运算即可。如果所得的余数为0,就是整除的情况;如果所得的余数不为0,就是不能整除的情况。例如:

　　①a=91,b=13。a÷b=91÷13,商7余0。这表明91=13×7。即91能被13整除。

　　②a=97,b=19。97÷19商5余2。所以97不能被19整除。

　　一般地,对于整数a和正整数b,如果进行除法a÷b得商q,余数为r,就有a=bq+r。其中0≤r＜b

（余数不为零的商为不完全商，余数为零时的商为完全商）

整除就是若整数“a” 除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．注意a or b作除数的其一为0则不叫整除

整除的规律

　整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。

　　整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

　　整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

　　整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

　　整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。

　　整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

　　整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。

　　整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

　　整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

　　整除规则第十条（10）：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除

　　整除规则第十一条（11）：将一个数从右往左数，将奇数位上的数与偶数位上的数分别相加，然后将两个数的和相减，如果差值能被11整除（包括差值为0）则原数可以被11整除。

　　整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

　　整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

　　整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

　　整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

　　整除规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除，则这个数能被23整除

　　整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除

　　整除规则第十八条（18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73整除

　　整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除

　　整除规则第二十条（20）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除

　　整除规则第二十一条（21）：若一个整数的末5位与前面的数的差能被9091整除，则这个数能被9091整除

　　整除规则第二十二条（22）：（9的无敌乱切）把一个整数分成若干段之和能被9整除，则这个数能被9整除

　　整除规则第二十三条（23）：（11的无敌乱切）把一个整数分成若干段，每段的末尾为奇数位加，偶数位减，结果能被11整除，则这个数能被11整除

　　整除规则第二十四条（24）：（a）若一个整数的末4位与前面的数的和能被101整除，则这个数能被101整除

　　（b）若一个整数的末2位与前面的数的差能被101整除，则这个数能被101整除

　　切记：0 不能做除数！