（第三十五篇）

 

 

                《发现标准梯形的故事》

                                                  ——标准梯形习题演算之二十九——

                                                         著作：王  祥 王  珺刘笑竹等“家庭课堂”全体

                                                         执笔： 王  祥

 

               （吉林省敦化市政治协商委员会 吉林 敦化 133700）

    关键词：同底标准最大特点：高线是‘上下底和’的二倍；

    内容摘要：1、同底（标准）梯形的特点：

    （1）上躯＝上底×上底。

    （2）下躯＝下底×下底。

    （3）左翼＝上底×下底。

    （4）右翼＝上底×下底。

    经过“家庭课堂”多次、重复演算证明：只要“梯形的同底梯形的高线是‘上下底和’的4倍”，那么，它的同底梯形其它项，也是同样倍数。

 

 

 

                 摸索同底标准梯形规律的故事

 

    这一堂“家庭课堂”辅导课：还没等老师开口……俏俏抡先发言：

    “老师！我代表我的表姐竹竹，不！代表我的竹竹同学，把我们昨天课后的讨论结果，向老师和同学们汇报！”并且画图如下：

   

    俏俏继续讲：

    “①号梯形是有上底、下底和高线数值的梯形；②号梯形是计算方法：上躯（上底×上底），下躯（下底×下底），左翼（上底×下底），右翼（上底×下底）；③号梯形是正在计算上躯、下躯、左翼和右翼的计算式；④号梯形是计算结果。可是，老师！我们俩发现一个天大的疑惑问题？就是：我们选用面积公式验算，不对了？我们俩被这一难关给卡在中间！我们认为这是前功尽弃！”竹竹补充说：

    “老师，您看！上底加下底等于8，再乘以高（4），等于32，最后除以2等于16，明明梯形面积是16呀！可是9＋25＋16＋16的面积等于：64啊？整整大四倍！问题出在哪里？”

    老师的眼睛盯住黑板上那四个梯形图，大家也随着老师的琢磨和揣测，也都把目光集中在四个梯形图上……家庭课堂静静的沉没在无声无息心有余而智不足的境界中……足足揣测有30分钟之多……还是老师宣布：

    “下课。这个问题留给明天再讨论！下课后我们谁也没有放过它：有的在偷偷演算……有的在默默的找根据……还有的去拜师求友、翻书想把这个难题弄通！”

    当天夜里，王梯形（《数学趣探——梯形和鸡兔问题创新》一书执笔人王祥，平时就多次夜半起来操纵电脑写画梯形，其侄女艳秋对回家的几位哥哥说‘我伯伯快要成‘梯形’啦’这话传出去后，熟悉人都称王氏“家庭课堂”创始人王  祥为：“王梯形”）这晚王梯形看过新闻，躺下之后闭上眼睛：“白天家庭课堂里呈现的现象，这两个梯形是竟然不同？是何故……较大梯形比较小梯形竟然：‘整整大四倍’可是它们的上下底相同，疑难题场面，在脑海里开始‘过电影’：

   

    ……是呀！（3＋5）×4÷2＝16；9＋25＋15＋15＝64。就是不符，肯定是不对？”王梯形回忆将近一个钟点的时间，还是没有头绪……”偶然间王梯形想到：

　　“计算一下较大梯形面积64的高线是多少？较大梯形高线等于：16＝64×2÷（3＋5），就是说，梯形面积64的高线是16；那么，高线是4的梯形面积是多少呢？较小的梯形面积等于：16＝（3＋5×4÷2。”王梯形顿时兴奋起来，再也躺不下去了，竟然披上外衣，打开电脑，又走上创新路……

    一、分析之一

   

   这是两个不同的梯形：梯形面积较小的梯形是正常梯形，梯形面积较大的梯形是新的梯形，应当找出它的特点，给它立户。

　　（一）分析它们各自特点

    1、⑤号梯形：

    （1）面积等于：64＝（3＋5）×16÷2。

    （2）高线是‘上下底和’的二倍（这一条是两个梯形的最大区别）；

    （3）9＋25＋16＋16＝64（上躯＋下躯＋左翼＋右翼＝面积）。

    （4）15×15＝9×25

    （5）其它关系：

    ① 上躯＝上底×上底。

    ① 下躯＝下底×下底。

    ③ 左翼＝上底×下底。

    ④ 右翼＝上底×下底。 

    2、⑥号梯形面积等于：16＝（3＋5）×4÷2。

    3、分析⑤号梯形与⑥号梯形的关系：

    （1）⑤号梯形的上底和下底与⑥号梯形的上底和下底完全相同（同底梯形）；

    （2）新的发现：⑤号梯形高线是⑥号梯形高线的四倍；根据⑤号梯形高线是⑥号梯形高线的四倍，找出以下几条：  

    ① ⑥号梯形面积÷⑤号梯形面积也等于：四（倍）；所以：

    ② ⑤号梯形上躯除以4，等于⑥号梯形上躯：2.25＝9÷4；

    ③ ⑤号梯形下躯除以4，等于⑥号梯形下躯：6.25＝25÷4

    ④ ⑤号梯形左翼除以4，等于⑥号梯形左翼：3.75＝15÷4

    ⑤ ⑤号梯形右翼除以4，等于⑥号梯形右翼：3.75＝15÷4

    4、⑤号梯形与⑥号梯形，除了同底以外，它们是倍数关系，而且，如果⑤号较大梯形高线是⑥号较小梯形高线的四倍，那么，其它各项（上躯、下躯、左翼、右翼和面积）也都是四倍。如下所示：

    

    这是一项重要发现！

    （三）如果是四倍关系：那么，⑤号梯形的上躯、下躯、左翼和右翼，也分别是⑥号梯形的上躯、下躯、左翼和右翼的四倍：制图试算：

   

    ⑨号梯形的上躯、下躯、左翼和右翼都计算出来了，这是一条数学新规律，也是计算梯形的上躯、下躯、左翼和右翼新计算方法！

    （四）验证：

    1、验证方法

    （1）上躯＋下躯＋左翼＋右翼＝梯形面积吗？

    （2）（上底＋下底）×高÷2＝梯形面积吗？

    2、验证计算

    （1）验证⑦号梯形：

    ① 9＋25＋15＋15＝64　　　　　　√

    ② （3＋5）×16÷2＝64　　　　　√

    （2）验证⑧号梯形：

    ① 2.25＋6.25＋3.75＋3.75＝16　√

    ② （3＋5）×4÷2＝16　　　　　 √ 

    王梯形计算到这一转头，啊！天已经亮了……王梯形照常晨练！

    王梯形一边跑步一边想，这几天再进一步整理整理，以便下次召开中型“家庭课堂”再讨论来丰富这一新发现！

    二、提起王梯形的晨练，其实王梯形每天早晨跑步一小时，已经坚持60多年。今天，晨练回来，洗过淋浴，吃过早饭，习惯性又坐在电脑前操练“新梯形”！

    （一）王梯形发现：任何梯形都会配算一个“同样上下底的梯形”如下所述：

   

    （二）如果另外这个同底梯形：根据上述（一）2、题中：“高线是‘上下底和’的二倍”那么，②号梯形高线等于：28＝（6＋8）×2。④号梯形高线等于：56＝（12＋16）×2。如下所述：

    

    （三）遵循俏俏和竹竹的计算方法：

    上躯（上底×上底），下躯（下底×下底），左翼（上底×下底），右翼（上底×下底）。计算②号梯形和④号梯形的上躯、下躯、左翼和右翼，如下所示：

   

    （四）计算如下：

    1、∵“与①号同底的新梯形”的高线是①号梯形高线的4倍，∴“与①号同底的新梯形”各项都分别除以4，就等于⑥号梯形各项。如下所示：

   

    2、∵“与④号同底的新梯形”的高线是③号梯形高线的4倍，∴“与④号同底的新梯形”各项都除以4，等于⑧号梯形。如下所示：

   

    后来，经过“家庭课堂”多次、重复演算证明：只要是较大的同底梯形的高线是这个梯形高线的4倍，那么，这个较大同底梯形的它项各项（上躯、下躯、左翼、右翼和面积），也都分别是这个梯形的4倍。

    这就是后来我们说的“同商”的来源：如果另个梯形与这个梯形是同底：那么，另个梯形高线÷这个梯形高线＝另个梯形上躯÷这个梯形上躯＝另个梯形下躯÷这个梯形下躯＝另个梯形左翼÷这个梯形左翼＝这个梯形右翼÷另个梯形右翼＝另个梯形面积÷这个梯形面积。

    上述六个除式都相等，正是因为它们的‘商数’相等，所以我们称这个相同的商数为：“同商”。

    较小的梯形是我们常用梯形，较大梯形需要有一个名称，这个新梯形的名称，是叫“第二梯形”，还是叫它“另一梯形”，还是叫它“较大大梯形”等，下次家庭课堂一定讨论定下来。

 

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