混合积：对三维向量a,b,c,称(a×b)•c为a,b,c的混合积,记为[a,b,c].
[a,b,c]=(a×b)•c=|a×b|•|c|cosθ
所以混合积就是以a,b,c为三条棱的平行六面体的体积.

数量积：两个三维矢量[1, 3, −5]和[4, −2, −1]的点积是

http://upload.wikimedia.org/math/1/8/9/189ee9305ab1c31263968d03d1b3db24.png。

使用矩阵乘法并把（纵列）矢量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:

http://upload.wikimedia.org/math/8/d/6/8d6585f43946be812fb9bd305497e59b.png，

向量积：矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

i × j = k           j × k = i           k × i = j

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃]

b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃]

则

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁]

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

http://upload.wikimedia.org/math/3/4/7/347077d90301a8ed490035175027a48b.png

张量积

对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 http://upload.wikimedia.org/math/5/2/0/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png:

http://upload.wikimedia.org/math/7/f/e/7fed0a55b2527df65097f8e0eab7f452.png

向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。

给定 http://upload.wikimedia.org/math/9/2/5/92555f9439ef4a54fcd65bd62f44f4ee.png，结果出自

http://upload.wikimedia.org/math/5/6/8/568be0dab8226aef4f2860f0b9c06c33.png

这里的张量积就是向量的乘法。

使用坐标:

http://upload.wikimedia.org/math/b/c/5/bc59ee00584bc0caf15dd2da8fa4c80d.png

对于复数向量，习惯使用 http://upload.wikimedia.org/math/a/1/f/a1f4e032305bc17ce1481451cc5a15be.png)，因为人们把行向量认为是对偶空间的复共轭向量空间的元素:

http://upload.wikimedia.org/math/2/d/2/2d2ff924469549be8d4e4c6f3813f5cd.png

如果 http://upload.wikimedia.org/math/0/a/a/0aa3ec374bdc0d6a17aecbb6bcda6a89.png 是列向量，定义变为:

http://upload.wikimedia.org/math/0/f/2/0f28d22930975087b87c84a521db381c.png

这里的  是 http://upload.wikimedia.org/math/0/a/a/0aa3ec374bdc0d6a17aecbb6bcda6a89.png 的共轭转置。

[编辑]相对于内积

如果 http://upload.wikimedia.org/math/0/a/a/0aa3ec374bdc0d6a17aecbb6bcda6a89.png 是行向量，而且 m = n，则可以采用其他方式的积，生成一个标量(或  矩阵):

http://upload.wikimedia.org/math/7/1/f/71f4da4e4bd07f927e3927bac3c11ca1.png

它是欧几里得空间的标准内积，常叫做点积。