教材：人教版高中数学必修5第三章

 

一、教学目标

1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；

4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式_{W020131023539513582146.gif}的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式_{W020131023539513582714.gif} 的证明过程；

难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教学过程：

1．动手操作，几何引入

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

W020131023539513739383.gif

 

 

W020131023539513730183.jpg

 

 

 

 

 

 

 

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？

在正方形_{W020131023539513734308.gif}，

那么正方形的边长为_{W020131023539513731167.gif}．于是，

4个直角三角形的面积之和_{W020131023539513735952.gif}，

正方形的面积_{W020131023539513739315.gif}．

由图可知_{W020131023539513730423.gif}．

W020131023539513731667.gif

 

 

 

 

 

 

 

探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为_{W020131023539513733607.gif}），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

通过学生动手操作，探索发现：_{W020131023539513734799.gif}

2．代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：

若_{W020131023539513733238.gif}．

若_{W020131023539513738724.gif}，则_{W020131023539513582146.gif}．

学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

（1）若_{W020131023539513738724.gif}，则；（2）若_{W020131023539513738724.gif}，则_{W020131023539513582146.gif}

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．

证法一（作差法）：

_{W020131023539513895606.gif}

_{W020131023539513898467.gif}时取等号．

（在该过程中，可发现_{W020131023539513897386.gif}的取值可以是全体实数）

证法二（分析法）：由于_{W020131023539513738724.gif}，于是

要证明  _{W020131023539513898899.gif}，

只要证明  _{W020131023539513895759.gif}，

即证  _{W020131023539513892492.gif}，

即  ，该式显然成立，所以_{W020131023539513898899.gif}，当时取等号．

得出结论，展示课题内容

基本不等式:

若_{W020131023539513738724.gif}，则_{W020131023539513582146.gif}（当且仅当时，等号成立）

若_{W020131023539513898467.gif}时，等号成立）

深化认识：

称_{W020131023539513734308.gif}的算术平均数

基本不等式_{W020131023539513582146.gif}又可叙述为：

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

3．几何证明，相见益彰

探究三：如图，_{W020131023539514043735.gif}．

根据射影定理可得：_{W020131023539514041549.gif}

由于Rt_{W020131023539514049009.gif}，

于是有_{W020131023539514045842.gif}

当且仅当点_{W020131023539513898467.gif}时等号成立．

故而再次证明：

W020131023539513897462.gif

当时，_{W020131023539513582714.gif}（当且仅当时，等号成立）

（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）

4．应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

对于_{W020131023539514048736.gif}，

（1）若_{W020131023539514049915.gif}；

（2）若_{W020131023539514045040.gif}．

（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

例2.求_{W020131023539514045139.gif}的值域．

变式1. 若_{W020131023539514205711.gif}的最小值．

在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示_{W020131023539514045139.gif}的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想．

并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式_{W020131023539513582714.gif}的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

练一练（自主练习）：

1.已知_{W020131023539514046101.gif}的最小值．

2.设_{W020131023539514203246.gif}的最小值．

5．归纳小结，反思提高

基本不等式：若_{W020131023539513898467.gif}时，等号成立）

若_{W020131023539513738724.gif}，则_{W020131023539513582714.gif}（当且仅当时，等号成立）

（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；

（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．

媒体展示，渗透思想：

若将算术平均数记为_{W020131023539514203009.gif}

利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面_{W020131023539514200967.gif}的上方

 W020131023539514206753.jpg

 

6．布置作业，课后延拓

（1）基本作业：课本P100习题_{W020131023539514202524.gif}组1、2题

（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．

（3）探究作业：

现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．