前   言

一，关于“什么是Berry相位”的争论

     1，“量II”书中的推导

     2，一个反例：一维矢量平移总是拓扑平庸的

     3，正确的说法：一盆有小孩的洗澡水

二，关于“Berry相位本质”的争论

     1，非得从含时Schrodinger方程才可以导出Berry相位吗？

     2，二维流形上矢量平移及协变导数计算

3，二维流形的和乐相因子计算

     4，Berry相位的本质是几何的

 一，关于“什么是Berry相位”的争论

1，文献[1、2]及[3、4]中的推导

    在Berry原始文献[1]中所叙述的正确做法是：一个含时过程，其Hamilton量通过含时参量 依赖于时间，即为 ，

      （1）

假设这个含时过程是个绝热演化过程，即时刻都有如下准定态方程成立，

           （2）

注意,这里的Hamilton量 虽然变化极其缓慢(标准下面再讨论)，但经长时间演化后，Hamilton量的变化可以很大。

由于存在准定态方程，可以合理地假设抽出一个如下相因子 ——称之为动力学相因子。于是，总体而言，可以假设满足此时初条件的含时解为

   （3）

至此，[1]中紧接着就研究：此时关键问题是，当相位 为不可积相因子、不能写成 的函数，特别是，在连续循环一周C之后， 是非单值的 。并指出，根据必须满足含时Schrodinger方程，可以直接得到的表达式。由于此种计算很直接，原文予以省略。现将其补述如下，

于是得到

即

当然也就有（注意，Berry认为下面公式（4）并无独立意义，因此他在[1]中原文里并未写出这个公式。）

 （4）

于是[1]中最后得到，连续循环一周 后，动力学方程解和 为

    （5）

根据Berry这一开创性工作，后来人们将戏统循环一周 返回后，由于参数空间的拓扑不平庸性，所出现的不为零相因子 称为Berry相位。这在数学家Simon当时所写的文章中，对此相因子的数学背景有更深的剖析[2]。