学习高等数学，对中学数学教学有何帮助？

这是很多师范生常有的疑惑。这个疑惑甚至等到他们走上工作岗位还未消除。

如果有师范生跑去问他的大学老师，老师可能会这么回答：

深入才能浅出，居高才能临下。

要给学生一杯水，教师必须有一桶水。

只有深刻掌握了数学的思想、方法，对数学本质认识清楚，才能高屋建瓴，胸有成竹。

学习了高等数学去教初等数学，遇到一些看似平凡的内容，你可以看出内在的不平凡，这叫举轻若重。遇到一些在初等数学里解释不清的疑难问题，则可透视本质，轻松化解，这叫举重若轻。

……

如果师范生追问：能否举例说明？我怎么感觉大学四年所学对将来的中学教学好像帮助不大，特别是偏微分方程、复变函数这些课程。

这时大学老师常常语塞，大多又会回到前面那些大道理：“居高临下、深入浅出……”

大道理好讲，具体细致的工作不好做。

其实这个问题由来已久，也不只是困惑师范生和中学老师。这个问题也引起了很多专家学者的思考，他们也尝试着回答这个问题。

F•克莱因曾提出一个名词：双重忘记，意思是进入大学学习高等数学忘记了中学数学，毕业后去当中学老师又忘记了高等数学。

双重忘记，这是很多人的感受。初进大学时学习，感觉不到大学数学和高中数学有什么联系，好像是重新学习一个新东西，而不是在前面的基础上提升。而走上中学教师的岗位之后，所学的高数知识又不大用得上。

F•克莱因为了解决这一问题，写了《高观点下的初等数学》，这已经成为数学教育研究领域的经典名著。

此后，类似著作不断涌现，如张奠宙、邹一心的《现代数学与中学数学》算得上代表性著作。若不纠结于书名，很多名家所写的普及性著作都可以算作此类，如上海教育出版社的《初等数学论丛》，中国科技大学出版社的《数林外传》等。

研究初等数学，是一个大课题。研究高等数学，又是一个大课题。将两者综合研究，涵盖更广，且绝不是两者的简单相加。对于这么大的一个课题，也绝不是几个人，发几篇文章，出几本书就能研究清楚的。需要不断有人研究，向前推进。更何况，初等数学和高等数学的研究内容也在不断变化着。

那如何研究初等数学和高等数学二者之间的关系呢？角度有很多。F•克莱因作为著名的数学家，由于自身深厚的数学功底，他选择了居高临下这个角度。这样的研究角度可以让人看清楚一些初等数学问题的背景，提高数学修养。但这样写也存在一些问题，譬如在某些问题上，作者所站高度过高，超出了一般读者的接受能力；又如作者主要是作为数学家的身份在写这个书，与中学数学的联系较少。

能否从初等数学出发，向高等数学走去呢？这当然也是可以考虑的一个研究角度。这也正是本书书名《从初等数学到高等数学》的来由。

从，表示出发点。到，表示希望前进的方向。

有读者看了我这方面的几篇文章，问：“为何你研究这么浅，找的题目大多是初等数学能解决的，你为何不多找些初等数学解决不了的，这才能凸显出高等数学的优势。”

这是由于这位读者对我的写作定位不了解。我的立足点就是初等数学，希望想高等数学走去，但能走到哪一阶段，不好说。如果是要找一些初等数学解决不了的问题，这太容易了，高等数学习题集里一大片都是。但要找一些题目，可以从初等数学和高等数学两个角度来思考，从而加深对数学的理解，这才是不容易的。

必须承认，与《高观点下的初等数学》相比，《从初等数学到高等数学》在书名上弱了不少。这一方面是我学识有限，谈不出什么高观点，就算想鼓足勇气，做个虚假广告，冒充高观点，但也怕读者质疑：凭什么说你的观点高，高在哪？献丑不如藏拙，因此还是老实一点为好。另一方面，我也受到弗赖登塔尔的影响。

弗赖登塔尔强调：为什么中学数学和大学数学之间缺口的弥补工作拖延了这么久，至今仍未实现？随着数学的社会重要性日益增长，沟通缺口的迫切要求也更强烈。今天我们若想实现F•克莱因的想法，去教“高观点下的初等数学”，就必须从接近中学数学的较低水平做起。

这说明，高观点和低起点并不是对立的。

关于初等数学和高等数学的界定，学术界一直没有定论。

龚升先生认为：“将微积分称之为高等数学是习惯上的说法，微积分在牛顿时代自然是高等的，现在看来，只能说是数学的初步知识。”

单墫先生表示：“其实研究本身并无高等、初等的分别。得到高深的结论是新发现，解决初等的问题同样是新发现，都是人类向未知领域的迈进。而且很多人们耳熟能详的大问题，如费马大定理，如哥德巴赫问题，论起它们的出身，无不属于初等数学。”

而在本书中，则认为使用了导数、行列式这些知识就算是高等数学了，虽然这些知识在某些地区的中学教材中已经出现。 

我从读大学起就研究这一问题，主要是从以下几个角度入手：

一、对照初高中教材，查看每一个知识点，想想用高等数学知识怎么看待；

二、对照大学教材，查看每一个知识点，想想如何与中学数学知识联系；

三、想想哪些中学知识是大学里用得比较多，初等数学起到了什么样的基础作用；

四、在解题中学习理解数学知识。找一些题目，分别用初数高数两个视角开看，有的还给出多种解法进行对比。

还有一些着眼点，一散开，比最初想象的篇幅大很多，所以最后决定先将精力集中在微积分和线性代数。将来若有机会，再考虑出版续集，甚至是一个系列丛书。

我虽有这么宏伟的设想，但我也清楚，自己不是写这书的最佳人选。我一不在中学教书，二不教高等数学，属于两不靠。我认识一些对中学数学和大学数学都有研究的朋友，也曾“怂恿”他们来写这方面的书籍，因为我觉得他们能比我做得更好，但他们有的说忙，有的则过于自谦。

说实话，找他们多了心里也烦。蜀鄙有二僧，说起去南海，当然富和尚更有优势，但最终却是穷和尚先去了。求人不如求己，自己动手丰衣足食。我尝试着做这个工作，也算对大学时代苦苦思考这个问题作一个交代，也希望给还在思考这个问题的朋友一些启发。

我曾经将本书的部分章节发表在新浪博客上，得到读者的鼓励，他们都期待着本书早日出版，特别是彭翕成读者群（306162497）里的朋友。他们说：早点出版，即使并不是那么完美，你这么用心做这个事情，相当不容易了。相信您这本书的出版，必将带动这个课题的研究，以及相关书籍的出版。

安慰的话，是不大可靠的，我也一向不信抛砖引玉这个说法。不然可做个实验，别人抛个砖，你真的愿意抛个玉么？玉要出来，是自己想出来，和前面的砖，关系不大。

只能说，写这个书，我尽力了，真的是集腋成裘。图书馆10多排微积分、线性代数习题集都快被我翻遍了。因为我固执地认为：“居高临下、深入浅出”这样的大道理当然是没有错的，但“居高临下、深入浅出”如何操作，却少有人提，语焉不详。要想真的说服人，还得要一个个具体的案例。目前已有的好案例还不多，很多书籍上都是抄来抄去，可恭维为经典案例长盛不衰，也可讥笑为老生常谈毫无新意，所以很有必要扎扎实实作一些案例整理和创新研究。

本书的假定的读者群有这些：数学教育方向的师范生、面对本文开篇提出的问题回答有点心虚的大学老师、中学数学老师、刚进入大学对高等数学学习不适应，希望借助初等数学基础研究高等数学的大一新生、学有余力特别是希望参加自主招生的高中生，以及广大的数学教育研究者、数学解题研究者。

如果本书将来某一天能成为师范生用的教材，或是中学老师进修的讲义，我将感到无比高兴。

我的老师张景中先生多次语重心长地和我说：你要是懂一点微积分就好了，那么你可以做更深入一点的研究。可见在张师看来，我是一点微积分都不懂的。现在却偏偏出版了这样一本书，写得如何，只能由读者来评判了。欢迎读者批评指正。    

由于今年本人工作实在太忙，本书写作一推再推。还好，还在进展中。如无意外，明年上半年出版问题不大。

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彭翕成重点推荐图书：

[9]彭翕成.师从张景中[M].北京：清华大学出版社.2013

本书真切细致地记述了著名数学家张景中院士对青年学生的关心照顾和指导培养，而作者自己虚心向 学，终略有小成。本书角度独特，记录真实可信。书里张师的教导对于年轻人治学具有广泛的指导意义，而其中的师生故事也让人潸然泪下。本书不局限于对张景中 先生治学研究、培养人才等有兴趣的数学爱好者，书中所传递的坚韧不拔的精神振奋人心，给人以鼓舞，适合所有有志奋斗者阅读。

[11]彭翕成.向量、复数与质点[M].合肥：中国科技大学出版社.2014

本书主要论述用向量法解决常见几何问题的方法，特别是基于向量相加的首尾衔接规则的回路法。全书共7章， 从被人忽视的向量回路入手，介绍向量形式的定比分点公式和四边形中位线形式及其应用，对垂直问题、圆问题、三角形五心问题等，作了专题研究。同时探讨了与 向量法密切相关的复数法和质点法。对于不同解法之间的优劣，列举大量案例进行比较研究。本书是基于《绕来绕去的向量法》进一步研究的成果。

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