生活中的等差数列，游戏和高考题

彭翕成     pxc417@126.com  

武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心  430079

在提起等差数列的时候，我们举例最多的是堆钢管。

那还有哪些案例呢？

《张丘建算经》中有这样一题：今有与人钱。初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱。与讫，还敛聚，与均分之，人得一百钱，问：人几何？

译文：今有给人钱的事，第一人给3个钱，第二人给4个钱，第三人给5个钱，递次每多给1个钱，给完后又全部收回所有钱，而平分给每个人100个钱。

与之完全类似题目有：人们走进果园，第一个人摘下1只石榴，第二个人摘下2只，第三个人摘下3之，以此类推，每人以后多增摘一只。石榴摘完后，平均分配给每人得6只石榴，问：有多少人摘石榴？（出自1427年出版《算术钥》。）

下面这道题出自8世纪出版的《益智题集》，梯有100级,第一级上有1只鸽子,第二级上有2只鸽子,……,第100级上有100只鸽子。问梯子上共有多少只鸽子？

这样的题目编造痕迹过于明显，看起来怪怪的。为什么以那样古怪的方式给人钱，后来又收回来平均分，不是多此一举么？现实生活中，有那样摘石榴的么？100只鸽子挤在一级台阶上，不挤么？同样是求前100个自然数的和，上述问题远就不如高斯的故事那样吸引人。

正因为这些案例都不是太好，所以流传都不广。

那有没有看起来自然一点的案例？当然有，譬如看看我们的挂历。横看，竖看，斜看，都是天然的等差数列。随意框选9个数，可以发现12等于周围8个数的和的八分之一。这由等差数列的性质是显然的。



http://s3/mw690/001LbuWTgy6IiZBvEwWd2&690    

下面要介绍的是一个猜数游戏。规则是这样的，表演者从挂历中框选出4×4的方框，在纸上写下一个数64（不让人知道）。再任选3位观众，第一位观众从这16个数中选出1个，譬如5，再删去5所在的行和列；第二位观众从剩下的数中选出1个，譬如13，再删去13所在的行和列；第三位观众从剩下的数中选出1个，譬如18，再删去18所在的行和列；最后剩下的数是28，再加上框选的3个数：5,13,18，四个数的和为64.刚好就是表演者所写下的数字。

 http://s13/mw690/001LbuWTgy6IiZBCp8o6c&690  

http://s8/mw690/001LbuWTgy6IiZBFZGL37&690 

这是为什么呢？表演者并没和观众串通，观众确实是随机选取数字的。但不管观众如何选取数字，都要遵循规律，4个数字不能来自于同行或同列。换句话说，要从每行每列中选取且仅选取一个数字。

此时等差数列就发挥了作用，4+11+18+25+0+1+2+3=64。不管前4个数与后4个数如何两两组合，都不影响最后的结果。你学会了么？表演给你的小伙伴或者是家里人看吧！甚至还可以事先框选5×5的方框，还可以让观众自己来框选，显得你的水平更高！

游戏中这样的取数方式，与行列式的计算是一致的，这在进入大学之后，在高等代数的课程中会学到。经查，此问题看似是游戏，但也曾作为高考题。以下是2010年上海春季高考数学试题14题。

 http://s4/mw690/001LbuWTgy6IiZBIVi313&690 

前些天，听林磊老师说，上海的高考题很多有高等数学背景。我查阅了几套卷子，所言不虚。无意中发现2010年春季高考试题14题，和我这篇科普文中所述基本一样。

http://www.baidu.com/link?url=44ORvNKq9e-FzeofLAQ6FZpMSrm8K2fPuznMxjCwPkwJuLDzuAykBGlObo1V6PtdyFfpI7lDH5sS4_nnbxo7s1eWQNKGRj65-93j8Z6Ggqy

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