（一）有关公式：

（1）η(z)=∑(n=1…∞) (-1)^n-1n^-z=(1-2^1-z)ζ(z)

（2）lnΓ(1-z)=γz+∑(k=1…∞)ζ(k)z^k/k

（3）(-1)ln(1-z)=∑(n=1…∞)zⁿ/n

（4）tan(xπ)=(xπ)Π(n=1…∞)(1-4x²/n²)^{(-1)^n}   

（5）sin(xπ)=(xπ)Π(n=1…∞)(1-x²/n²)

（二）后进求法：

η′(0)=∑(n=1…∞) (-1)ⁿlnn

       =∑(n=1…∞) (-1)ⁿ⁺¹ln(n+1)

       =(-1)∑(n=1…∞) (-1)ⁿlnn+∑(n=1…∞) (-1)ⁿ⁺¹ln(1+1/n)

2η′(0)=∑(n=1…∞) (-1)ⁿ⁺¹ln(1+1/n)

         =∑(n=1…∞) [(-1)ⁿ∑(k=1…∞)(-1/n)^k/k]

         =∑(k=1…∞) [(-1)^k-1(1/k)∑(n=1…∞)(-1)^n-1/n^k]

         =∑(k=1…∞) (-1)^k-1η(k)/k

         =ln2-∑(k=2…∞) (-1)^k(1-2^1-k)ζ(k)/k

         =ln2-∑(k=2…∞) (-1)^kζ(k)/k+2∑(k=2…∞) (-1/2)^kζ(k)/k

         =ln2-lnΓ(2)-γ+2lnΓ(1+1/2)+γ=ln(π/2)

∴   η′(0)=(1/2)ln(π/2)

（二）双进求法：

（1）η′(0)=∑(n=1…∞) (-1)ⁿlnn

       =∑(n=1…∞) (-1)ⁿ⁺¹ln(n+1)（后进法）

       =(-1)∑(n=1…∞) (-1)ⁿlnn+∑(n=1…∞) (-1)ⁿ⁺¹ln(1+1/n)

∴  2η′(0)=∑(n=1…∞) (-1)ⁿ⁺¹ln(1+1/n)……………… ①

（2）η′(0)=∑(n=1…∞) (-1)ⁿlnn

       =∑(n=2…∞) (-1)^n-1ln(n-1)（前进法）

       =(-1)∑(n=1…∞) (-1)ⁿlnn+∑(n=2…∞) (-1)^n-1ln(1-1/n)

∴  2η′(0)=∑(n=2…∞) (-1)^n-1ln(1-1/n)……………… ②

（3）由①+②得：

4η′(0)=ln2-∑(n=2…∞) (-1)ⁿln(1-1/n²)……………… ③

（4）由公式：

         tan(xπ)=(xπ)Π(n=1…∞)(1-4x²/n²)^{(-1)^n}   

取对数并令x→1/2得：

         ∑(n=2…∞) (-1)ⁿln(1-1/n²)=3ln2-2lnπ

代入③中化简得：  η′(0)=(1/2)ln(π/2)

（三）直接求法：

（1）由公式：

          sin(xπ)=(xπ)Π(n=1…∞)(1-x²/n²)

令x=1/2得：Π(n=1…∞)[4n²/(4n²-1)]=π/2

取对数得：∑(n=1…∞)[2ln(2n)-ln(2n-1)-ln(2n+1)]

                  =∑(n=1…∞)[2ln(2n)-2ln(2n+1)]=ln(π/2)

即             ∑(n=1…∞)[ln(2n)-ln(2n+1)]=(1/2)ln(π/2)

（2）η′(0)=∑(n=1…∞) (-1)ⁿlnn

           =∑(n=2…∞) (-1)ⁿlnn

           =∑(n=1…∞)[ln(2n)-ln(2n+1)]

               =(1/2)ln(π/2)