（k为整数，n为自然数，N为无穷大整数，规定：0⁰=1）

(1)   (N→∞)∫(kπ-π/2,kπ+π/2)[xⁿcos(Nx)/sinx]dx=0

(2)   (N→∞)∫(kπ,kπ+π)[xⁿcos(2Nx)/cosx]dx=0

(3)   (N→∞)∫(kπ,kπ+π)[xⁿsin(2N+1)x/cosx]dx=0

(4)   (N→∞)∫(kπ,kπ+π)[xⁿ(-1)^Ncos(2N+1)x/cosx]dx=πⁿ⁺¹(k+1/2)ⁿ

(5)   (N→∞)∫(kπ,kπ+π)[xⁿ(-1)^Nsin(2Nx)/cosx]dx=(-1)^k-1πⁿ⁺¹(k+1/2)ⁿ

(6)   (N→∞)∫(kπ,kπ+π)[xⁿsin(2N+1)x/sinx]dx=(1/2)πⁿ⁺¹[(k+1)ⁿ+kⁿ]

(7)   (N→∞)∫(kπ,kπ+π)[xⁿsin(2Nx)/sinx]dx=(1/2)(-1)^k-1πⁿ⁺¹[(k+1)ⁿ-kⁿ]

(8)证明方法：

①递进法

②分部法

③奇偶法

④区补法

⑤位移法

⑥折半法