《完美的图形--圆》教学实录与反思

张呈峰

 

教学内容：青岛版小学数学六年级上册第四单元第52～53页，圆。

教学目标：

1、帮助学生认识圆，掌握圆的特征，学会用圆规画圆，理解同一个圆里直径和半径的关系。

2、培养学生的作图能力，培养学生观察、分析、抽象、概括、思辨等思维能力。

3、通过画一画、量一量、比一比、折一折等一系列的数学活动，让学生积累数学活动的经验。

4、让学生体会圆形物体的美及圆所内含的文化特性，渗透数学极限思想。

教学重点：理解和掌握圆的特征，掌握用圆规画圆的方法。

教学难点：理解圆上的概念，归纳圆的特征。

教学过程：

一、在游戏中整体感受“圆”

师：今天这节课，我们研究的正是圆，你能从信封中将这张圆形纸片给摸出来吗？

生：能。

师：如果信封里只有这一个图形，谁都能摸出来。问题是信封里除了圆以外，还有其他的平面图形，你能从这一堆平面图形中把圆给摸出来吗?为什么？

生：圆的形状与其它图形的不一样。

生：圆没有角。

生：圆的边光滑。

师：对，圆的边光滑，圆是由曲线围成的平面图形是曲线图形，我们把这些由线段围成的平面图形叫直线图形。要从这一堆图形中把圆这个唯一的曲线图形摸出来，不难。不过，信封里还有一个图形呢。(出示椭圆)椭圆也是由曲线围成的，看起来也特别光滑，你们会不会把它也当做圆给摸出来？为什么？

生：不会的，椭圆比圆扁一些。

生：如果周长相等的话，椭圆的面积比圆要小一些。

师：这位同学很善于联想，还想到了周长相等的情况下圆的面积比椭圆面积大。圆和椭圆比，它既饱满又匀称。和这一些平面图形比起来，圆这个图形的确很特别，它饱满、匀称。难怪，在2000多年以前，古希腊伟大的数学家就发出了这样的感慨：在一切平面图形中，圆最美。（学生都瞪大了眼睛，精力特别集中，在感受到圆的美。）那么，圆究竟美在哪儿? 是什么内在的原因，使得圆这种平面图形看起来这样饱满、匀称，以至于让它成为所有平面图形中最美的一个，就让我们一起带着问题，深入地认识圆、研究圆吧。

二、在自主探究中认识“圆”

1、提出问题，自主探究。

师：拿出课前准备好的圆形纸片，先请一个同学读一下活动要求。

生：（读）活动要求：（1）将课前准备好的圆形纸片对折、打开，再换个方向对折、再打开，反复折几次，你可以发现什么?（2）再用直尺量一量折的每一条折痕的长度，你又发现了什么?

（学生动手操作2分钟。）

师：下面继续来看活动要求，请一个同学来读。

生：（读）把你的发现在小组里汇报，记录员做好记录，最后看看哪个小组的收获多？小组交流完后，每个小组选一个代表汇报。

（小组交流讨论5分钟。）

2、汇报交流，总结梳理。

师：下面要进行小组的汇报展示，哪个小组先来？

组1：我们的第一个发现是所折的每一条折痕的长度一样，折痕是圆的直径；圆上有无数条直径；我们又对折，打开再对折，折痕的这一半是圆的半径，圆有无数条半径；无论是直径和半径它们的长度都一样。

师：你们真善于探究，已经有了这么多的发现。刚才你们提到了圆的直径和半径，能解释一下什么是直径和半径吗？

组1：（指圆形纸片）对折的这些折痕就是圆的直径，折痕的一半就是圆的半径。

师：你们通过预习知道了圆的直径和半径，真不错！除了这些发现，哪个小组还能补充？

组2：圆有无数条对称轴。

组3：圆的直径是半径的两倍。

师：你们又补充了直径和半径的关系，又一个重大发现！

组4：直径是从圆的一边通过圆心到达另一边，半径是从圆心到达另一边。

师：它们小组又补充了什么是直径和半径，等会儿我们看一下数学家是怎样描述圆的直径和半径的。

组5：圆只有一个中心点。

师：又一重大发现，哪是圆的中心点呢？

组5：折痕相交的这个点就是圆的中心点。

师：说的真完整！圆的中心点就是圆的圆心，一般用字母o表示。咱们同学的发现可真多，说明同学们是很善于探究发现的。下面我们来看数学家是怎样描述圆的直径和半径的。（屏幕出示）谁来读圆的直径？

生：（读）连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。

师：“圆上”是什么意思？谁能到前面来指一下？

生：（指圆的边）这就是圆上。

师：在圆上点一个点。（该生在圆上点了一个点）

师：在圆内点一个点。（该生在圆心上点了一个点，其他同学在下面喊圆内哪个地方都可以点）除了圆心还能在其它地方点吗？（该生又在除了圆心之外的圆内的一个地方点了一个点）

师：在圆外点一个点。（该生顺利地在圆外点了一个点）

师：“任意一点”是什么意思？

生：随便的一个点。

师：“圆上”有多少个点？

生：“圆上”有无数个点。

师：刚才我们知道了什么是“圆上”“圆内”“圆外”，还知道了“圆上”有无数个点，再来看什么是直径，（屏幕出示）谁来读？

生：（读）通过圆心两端都在圆上的线段叫做直径。

师：（在圆内画一条不通过圆心的线段）这是圆的直径吗？

生：不是，因为这条线段虽然两端在圆上，但没有通过圆心，所以不是圆的直径。

师：回答的好不好？

生：（齐说）好！（并报以热烈的掌声）

师：知道了圆的有关概念，现在我们就把刚才各小组的发现整理一下吧。

（教师和学生一起边整理边板书：在同圆中所有的半径和直径都分别相等，半径和直径都有无数条，半径和直径的关系是：d=2r， r=d/2。）

师：我们共同发现了圆的这些特征，老师还有一个问题：圆的半径和直径真的有无数条吗？有人就不同意这个观点。这是我院里的小东同学在学完《圆的认识》后回去做的一次小实验(呈现在半径5厘米的圆上画得密密麻麻的半径)。他在这么大的圆里画满了半径，最后一数，才124条。不是说无数条吗?

生：我觉得他的圆太小了，要是再大一点，那么画的半径就更多了。

生：这位同学用的笔太粗了。如果用细一点的笔画，应该可以画的多。

生：如果用再细一点的笔画，半径就可以画更多条。这样不断地细下去，就可以画出无数条半径。

师：多富有想象力呀！半径可以不断地细下去，直到无穷无尽。这样想来，半径当然应该有——无数条。

师：关于半径和直径之间的关系，老师出几个题考考你。

（略。）

师：今天我们一起来总结了圆的一些特征，关于圆，早在2000多年前，我国古代伟大的思想家墨子也得出过和我们相似的结论，他是用古文描述的，你们能不能看懂? (课件出示：圆，一中同长也。)“一中”指什么？“同长”呢？

生：“一中”是一个中心点，“同长”就是一样长。

师：什么一样长？

生：直径一样长。

师：“同长”在这里是指半径同长。而且，墨子的发现比西方人早了一千多年，就让我们带着这份自豪感来读：“圆，一中同长也。”

生：（齐读）圆，一中同长也。

师：我们已经知道了圆的特征，那么，在一切平面图形中，为什么圆最美，现在你能解释了吗？

生：因为它有无数条直径和半径。

生:（补充道）每条直径和半径都一样长。

生：正方形从中心到边的距离就不一样长。

师：这位同学的联想能力真强，想到了正方形，（师拿起正方形车轮模型）对，正方形从中心点到边的距离不一样长，而圆是“一中同长”的，所以才最完美。

三、在画圆中深层感受“圆”

1、学习画圆

师：我们已经认识了圆的一些特征，你能画一个圆吗？

生：能。

师：画圆用什么工具?

生：圆规。

师：对，用圆规。有句古语说得好：“没有规矩不成方圆”，这里的“规”就是指的圆规。请同学们试着在练习本上用圆规画一个圆，看谁画的圆最美。

（学生在纸上用圆规画圆，教师巡回观察。）

师：在画圆的过程中，你们遇到过什么问题？

生：圆还没画完，圆心这个地方容易跑偏。

师：没有固定住圆心，谁能解决这个问题？

生：在画圆时，先点一个点。

师：她想了一个很好的办法，先点一个点，固定圆心。谁还遇到问题了？

生：（拿圆规）画圆时，这两边（指圆规两脚）容易动。

师：圆规两脚之间的距离动了，画出的圆还圆吗？

生：不圆。

师：对，不符合“一中同长”的特征了。怎么解决这个问题？

生：把两脚间的距离固定住，别让它动。

生：把圆规上面的螺丝拧紧就不容易动了。

师：这些都是好办法。现在我们一起来总结画圆的步骤吧。先请一位同学在投影上演示画圆，其他同学帮着总结画圆的方法。

生：（一个学生在投影上边画圆边讲解）先将圆规的针扎到这一点上，然后慢慢移动带铅笔的这头，转转转，直到把边连接上，就画出一个圆来了。

师：根据他画圆的步骤，第一步是干什么？

生：点圆心。

师：对，先点一个点，就是定点。第二步呢？

生：确定圆的半径。

师：就是确定圆规两脚之间的距离，即半径的长度就是定长。第三步呢？

生：开始画。

师：也就是旋转。刚才我们总结了画圆的方法，下面在再在练习本上画一个圆，画完后，同桌互相说画圆的方法。

（学生在练习本上画圆。）

2、圆的位置和大小的确定

师：（在投影上展示一个同学画的圆）这个同学画的圆位置一样吗？（不一样）大小一样吗？（不一样）思考下面的问题（投影出示：什么决定圆的大小？什么决定圆的位置？），

可以同桌交流一下。

生：圆心决定圆的位置。

生：半径和直径决定圆的大小。

生：圆规两脚间的距离决定圆的大小。

师：圆规两脚间的距离就是圆的半径，所以半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。下面请大家按下面的要求来画两个圆。

（略）

四、在现实生活中解释“圆”

师：今天我们学习了圆的有关知识，你能用今天所学的圆的知识解释一些生活现象吗？看屏幕，（出示问题：车轮为什么做成圆形的？车轴应安装在哪？）

生：圆形的比较均匀、比较稳。

生：圆的车轮有利于滚动。

生：车轴应装在圆心上，圆上各点到车轴的距离都相等，不会产生颠簸。

生：圆的轮子能滚动，是因为圆的半径都同样长的。

生：如果是方形的就滚不起来了。

师：你们说的都有道理，圆是“一中同长”的，车轴装在圆心上，我们把直尺当马路，来演示圆形车轮的滚动，（用圆形车轮的模型在直尺上滚动），车轴到地面的距离总是相等，所以，圆形的车轮，车跑起来平稳。刚才有同学还提到了方形的车轮，再来看方形车轮跑起来会是什么样子的（把方形车轮的模型放在直尺上演示），跑起来会一颠一颠的。如果我拿一个正六边形的车轮（出示正六边形的车轮模型），和正方形车轮比起来，怎么样？

生：会平稳一些。

师：（屏幕出示）正八边形比正六边形怎么样？

生：更平稳一些。

师：（屏幕出示）正十七边形比正八边形怎么样？

生：还平稳。

师：正五十边形比正十七边形怎么样？

生：更平稳。

师：正无数边形呢？

生：那就是圆了。

师：对，正无数边形就是圆了，在这里体现了数学上的极限思想，圆上有无数个点、圆有无数条对称轴、同圆中直径和半径都有无数条也体现着极限思想。对于前面“车轮为什么是圆形的”解释的很好，（出示篮球比赛开场的情境）再来看篮球比赛中也有圆的知识呢！篮球比赛是怎样开始的？我班有很多同学喜欢篮球，就请爱好篮球的一个同学来回答。

生：（一个爱打篮球的同学）在篮球场中心的圆的中心点上发球，其余的人在两边。

生：裁判站在圆心上，其他人在边上。

师：“边上”是指的哪里？

生：圆的边上。

师：是呀，球在中心，球员都在圆上，大家离球的距离都一样，符合“一中同长”的特征，这样才公平。再想想，怎样画出这个半径是1.8米的大圆呢？没有圆规能画圆吗？先独立思考，再在小组内交流。

（小组交流画大圆的方法。）

师：用老师提供的工具（钉子、绳子、粉笔），请两个同学来演示画大圆的方法。

（两个同学上黑板演示画一个较大的圆。）

师：大家看，没有圆规也能画出圆来，只要确定圆心和半径，符合“一中同长”的特点，就能画出圆来。

五、在作业中拓展延伸“圆”

师：下面老师布置一个课后作业，“用圆作一张画”或者以“我眼中的圆”为题写一篇数学日记，两个作业任选一个。

六、在自然人文中欣赏“圆”

师：最后，让我们在对“圆”的欣赏中结束本节课的学习。

（配乐出示大自然、建筑设计、工艺设计、标志设计、工业生产、科技中的圆，学生都瞪大了眼睛，聚精会神地欣赏，图片放完了，学生还意犹未尽。）

 

让学习像呼吸一样自然

 

在本节课的设计中，我创设了一个知识性的情境自然引入教学，用学生能理解、能接受的自主探索、自主发现的方式来进行教学，给学生呈现了最自然的、最易接受的方法，使学生在课堂上自然地学习知识。

课一开始，通过摸“圆”游戏，从直线图形中自然引出曲线图形——圆，让学生整体感受“圆”的光滑、饱满、匀称，为后面研究圆的特征做好铺垫。同时，揭示了在平面图形中圆最美，激发了学生探究“圆”的奥秘的兴趣。

学生通过整体认识圆知道了一切平面图形中圆最美，那么，圆为什么最美，圆中有哪些奥秘？这是学生非常感兴趣的，用数学内在的魅力激发学生学习的好奇心，使他们始终处于一种定向的认知活跃状态，以积极的姿态摄取新知，满足了学生“好奇”、“好学”的心理需求。这时，我没有按照教材的编排先教学生如何画圆，而是自然地进入了圆的特征的自主探究。现代建构主义认为，知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。我引导学生在画画、量量、比比、折折等一系列活动中，认真观察、动手操作，积极思考、主动探索、合作交流，自主总结发现结论，探究圆的本质特征，学生经历了圆的有关知识的形成过程，满足了“成功”的心理需求，增强了学习的信心。

学生已经认识了圆的一些特征，知道了为什么圆最美，对于画圆一定是跃跃欲试了。这时，自然地引入了画圆。通过画圆学生认识到半径决定圆的大小、圆心决定圆的位置，并且在画圆的过程中加深了对圆的本质特征“一中同长”的理解。

学生学习了圆的有关知识，自然想用学到的圆的知识解决问题。这时，我出示了生活中的相关问题，学生解决问题的积极性很高。如车轮为什么是圆形的？车轴应装在哪里？有不少同学做出了合理的解释。再如学生在解决“怎样画一个大圆”的实际问题时跃跃欲试、神采飞扬，想出简便而又实用的方法，使他们的个性得到彰显、能力得到提升，享受到了成功的喜悦。引导学生用圆的知识解释生活中的现象、解决生活中的问题，让学生感受了圆在生活中的应用，感受到了数学的价值，培养了学生应用新知解决生活中的实际问题的能力。

本节课中的“数学文化”也是自然引入的。由于圆很特别，区别于其它图形的是它既光滑，又饱满、匀称，由此引入了古希腊伟大的数学家毕达哥拉斯所发出的感慨：在一切平面图形中，圆最美。在学生探究完圆的特征以后，引入了我们的祖先墨子的伟大发现，“圆，一中同长也。”而且，在后面的学习中自然地运用墨子的“一中同长”，画圆要符合“一中同长”的特征，圆形的车轮用“一中同长”来解释，篮球比赛的开场回到“一中同长”上来说明，不用圆规能画较大的圆也符合了“一中同长”的特征。后面的“没有规矩不成方圆”这句古语的运用也是恰当、自然的。这样的教学，从历史的视野去丰富了学生原有的认知结构，使数学文化的魅力真正到达了课堂、溶入了教学，让圆所具有的文化特性浸润于学生的心间，让学生觉得数学课堂丰厚有趣，充满着智慧灵光，闪烁着生命活力。

另外，美学的思想一直贯穿全课。如上课伊始的“平面图形中最美的是圆”，到课中的画出最美的“圆”，再到课结束时欣赏“自然”和“人文”中的“圆”，都是让学生感受圆的神奇魅力，感受数学美的存在，使数学与艺术完美的融合，提高了学生的审美情趣。我班的姚辰同学学完“圆的认识”以后，在数学日记中发出这样的感叹：圆是我学过的最美的图形，我特别喜欢研究这个完美的圆！我也知道了圆为什么是最美的图形，是因为圆有一个中心点，它的半径同长，才使得圆最完美。这足以看出，圆的“美”已深入学生的心中，圆的“一中同长”的本质特征更是印在了学生的脑海里。

在本节课中，也有几个处理的不恰当的地方。如我在出示椭圆后，蒋雨树同学说出了“在周长相等的情况下，圆的面积要比椭圆的面积大”的问题，我没有进行评价，就让他坐下了。这是我预设中没有想到的，当时不知道怎么评价，课后我想到了，这位同学很善于研究一些数学问题，应该这样评价：“这位同学很善于研究问题，联想到了周长相等的情况下圆的面积比椭圆面积大，我们应该向她学习！”这样，就肯定了他的说法，还能激发这位同学进一步研究数学问题的积极性。