《方程的意义》教学实录与评析

王  玫（工作室成员）

评析    张呈峰

（本节课2011年获全国目标教学优质课一等奖）

 

教学内容：青岛版小学数学五年级上册第四单元第55～57页，简易方程。

教学目标：
1、初步了解方程的意义，理解方程的概念和等式性质，感受方程思想。
2、使学生经历从生活情境到方程概念的建立过程，体会方程及等式性质是刻画现实世界的数学模型；培养学生观察、猜想、验证、分类、抽象、概括、应用等能力.

3、通过自主探究，合作交流等数学活动，激发学生的兴趣，培养学生独立自主的成就感以及合作交流的团队精神。

教学重点：理解和掌握方程的意义。

教学难点：根据等量关系列方程。

教学过程：

一、创设情境

师：请同学们看大屏幕,玩过这种游戏吗？

生：玩过。

师：现在讨论一下关于跷跷板的话题：老师要和这位同学玩跷跷板，会出现什么情况？

生1：老师你们俩的体重不一样，你在下面，他翘到了上面。

生2：跷跷板不平衡了，有危险。

师：对呀，体重相差太大，既玩不起来又很危险。如果他的体重是35千克，他会选择和什么样的伙伴一起玩跷跷板？

生：体重一样的，既能玩起来又很安全。

师：考虑真周到。老师的体重是60千克，这位同学的体重是35千克,又来一位同学的体重是25千克,我们三个怎么玩?

生：老师你自己坐在一边，他们俩一起坐在另一边。

师：这时候，跷跷板就平衡了，因为我和他们两个人的体重是相等的。老师的体重和他们俩的体重的关系在数学上就叫做“等量关系”（板书）能用以前学过的式子来表示这种等量关系吗？

（生说式子，师贴35+25=60。）

师：利用跷跷板的这种平衡原理，人们很早就发明了一种称量物体质量的仪器。

师：（出示课件）画面中的这个仪器叫做“托盘天平”，它是用来称量物体质量的。当天平的两端是相等的关系时，这个天平是平衡的，两端质量不相等的时候呢？

生：天平不平衡。

师：指针偏向左边，说明什么？

生：左边重。

师：指针偏向右边呢？

生：右边重。

二、探究新知

（一）创设情境，建立表象。

师：认识了天平，我就请同学们看一组关于天平称物的动画，请同学们仔细观察，认真思考，把你的发现和大家一起分享。（课件）

师：在天平的左盘里放一个空杯子，右盘里放100克的砝码，看！天平到达平衡状态，说明了空杯子的质量等于砝码的质量，是相等的关系。

师：现在我往杯子里倒水，天平还平衡吗？说明了什么？

生：不平衡。空杯子加上水的质量大于砝码的质量。

师：空杯子是100克，水的质量是多少呢？

生：不知道具体是多少。

师：不知道的量可以用未知数x表示，天平左端的质量就是100+X，你能用学过的式子表示这种不相等的关系吗？

生：100+X＞100

师：你有办法让天平平衡吗？

生：再放砝码。

师：好，我们增加一个100克的砝码，你能用式子表示这种不平衡的状态吗？

生：100+x＞200

师：请把这个式子写在你的练习本上（生写答案，师贴式子。）

师：再增加一个100克的砝码，你能用式子表示吗？写下来。

（生说答案，师贴式子100+x＜300。）

师：猜一猜水的质量大约在什么范围之间？

生：在200克以上，300克以下。

师：那我们调换砝码，去掉一个100克的砝码，增加一个50克的砝码，观察天平发生了怎样的变化？等量关系是什么呢？

生：天平又平衡了，等量关系是杯子加水的质量等于250克。

师：找的真准！你能用式子表示天平现在的状态吗？写下来。

(生说答案，师贴式子100+x=250。)

师：根据天平是否平衡，我们写下了3个式子。平衡的时候是相等的关系，不平衡的时候是>或<。下面请同学们继续观察，根据天平的称重情况，列出相应的式子。

(生写完答案后汇报，师贴式子。)

（二）交流分类,揭示概念。

1．小组合作，整理分类。

师：经过大家的共同努力，借助天平写下了这么多的式子，你能不能找到一个标准，把他们分分类（板书在式子的旁边）？

（10秒钟以后，生举手想要回答。）

师：已经有同学有想法了，请看要求。明白自己的分工吗？开始！

2．汇报交流，统一标准。

师：哪个组先来汇报组里的分类结果？                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

生1：我们组分类的结果是：根据天平是否平衡分成了两类。（生上台摆放黑板上的式子）

师：和他们组一样的举手。看，有共同想法的真不少！

生2：我们组讨论的结果是：根据是否含有未知数分成了两类。（在实物投影仪上显示）

师：和他们组一样的有没有啊？咱们班现在出现了两种分类标准，你们有什么看法？

生：都很有道理。

师：老师很高兴，因为课堂上要的就是这样一种“百花齐放百家争鸣”的局面。但因为时间有限，我们先按第3小组提出的分类标准分，天平平衡状态下的式子叫做等式，不平衡状态下的式子叫做不等式。（教师画出集合图并板书名称）在这节数学课上我们重点来研究等式，关于不等式的知识我们到中学再学习。

3．同桌合作，分类等式。

师：这4个等式也是形态各异啊，你能把这4个等式再按照一定的标准分分类吗？同桌讨论。

4．汇报交流，引出方程。

生：我们俩是根据等式中是否含有未知数把等式分为两类。

师：好，各居其位。这一类含有未知数的等式叫做方程。（画出集合图，板书名称）这就是我们今天要学习的主要内容。（板书课题：方程的意义）
    5. 总结归纳，建构意义。

师：请你大声的把方程的意义说出来。

生：含有未知数的式子叫做方程。

师：指100+x＜300，这也是含有未知数的式子，为什么不在方程的集合里呢？

生：它不是等式。

师：所以啊，方程是含有未知数的等式。（板书：含有未知数的等式叫做方程）

师：品味品味这句话，能把关键词找出来吗？

生：未知数，等式。（师标出来）

师：（利用现有资源，指35+25=60。）它属于哪个集合呢？是方程吗？为什么？

生1：它是等式，不是方程。

生2：它没有含未知数，所以是等式，不是方程。

师：说的太好了。那100+x＞200含有未知数啊，是方程吗？为什么？

生：它不是等式，所以不是方程。

师：也就是，方程必须同时具备两个条件，一个是等式，另一个是未知数。现在，你能对着我们的集合图，说一说方程和等式有什么关系吗？

生1：方程是含有未知数的等式。

生2：只要相等就是等式了，可是方程要求更严，还要再含有未知数。

生3：方程一定是等式，等式不一定是方程。

师：好，经过三个同学的不断补充，真理诞生了：方程一定是等式，等式不一定是方程。        

师：回顾我们刚才的学习过程，会发现我们使用了一种非常简洁实用的数学方法，是什么？

生：分类。

师：（板书：分类）而且我们用了两次。第一次根据天平是否平衡，把式子分成了等式和不等式两类。第二次根据等式中是否含有未知数，筛选出了方程。分类能帮助我们把问题化难为易、化繁为简。在今后的学习中我们会经常用到它。

三、巩固新知

师：学到现在，老师想考考大家关于方程的知识，敢接受挑战吗？

（1）下面哪些式子是方程？是方程的打“√”。

①χ+5 (   )     ②3y=12 ( 　)    ③2χ+3＞10 (   )

④15+5=20 (   )　⑤8－n=6 (   )　 ⑥3χ+5χ=160(   )

（２）填一填

       

    （限时3分钟，生说答案，自批自改。）

师：（追问）第一题的最后一个有两个未知数，也是方程吗？为什么？

生：不管含有几个未知数，只要有未知数就行。

师：方程这么好用，那它是怎样产生的呢？让我们一起走进方程的历史去看看吧。

（播放课件）

四、全课总结

师：我们今天用到的方程是前辈们积累知识、总结经验才形成的智慧成果。千里之行，始于足下，现在请同学们总结一下我们这节课的智慧成果吧。

生1：我知道了什么是方程，而且会判断是不是方程了。

生2：我知道了方程的历史，很惊叹古人的智慧。

生3：我们学到了方程，还会用方程了。

师：是呀，学到了知识还要会合理地运用知识。恭喜大家都有自己的收获，下课。

 

追求自然无痕的数学课堂

 

对于一堂课的评价，标准应该不是唯一的。面对不同的学生，不同的教学内容，不同的教师评价，我们很难用统一的标准来衡量。我认为自然的数学课堂便是最好的，因为自然数学课堂顺乎了学生的认知规律，让学生自由地发展，没有过多的人为强制力量。自然的生态课堂是体现师生教学相长的动态生成的智慧课堂。王老师的数学课堂一直在追求这种“自然无痕”的境界。

一、创设真实自然的学习情境

方程的概念比较抽象，方程思想对学生来说是一种全新的思维方式，有别于学生一贯的算术思路，因此在教学时，王老师着眼于自然，从学生的生活出发，用学生感兴趣的场景—玩跷跷板，让学生感知平衡与不平衡，再由跷跷板过渡到天平，发挥“天平平衡”这一具体实例对于抽象概括方程的意义的支撑作用，并本着循序渐进的原则，创设了大量的现实情景，让学生观察、分析，把自己理解的等式、不等式用式子表达出来，运用这些具体实例，分类研究，总结方程的意义。

这些生活的例子不仅让学生易于理解抽象的方程概念，也让学生用方程的思想去深刻地体验生活，认识自然。王老师设法使方程知识游弋在现实生活的河流中，取材于自然，以身边最平常、最朴素的事物来揭示方程最本质的规律和意义，这样的教学设计看似平淡，却能把握方程的“平衡”即“相等”的实质，教学过程就如行云流水般的自然流畅。

二、顺应学生自然的认知规律

王老师在教学中注意顺应学生自然的认知规律，让学生自主建构知识。建构主义理论认为学习不是被动的接受，而是学习者基于自己与外部世界相互作用的独特经验以及赋予这些经验的意义，来主动建构自己的知识的过程。陶行知先生曾做过“喂鸡吃米”的著名实验：强按鸡头吃米，小鸡硬不吃。丢开小鸡，却自由自在地快快乐乐地啄起米来。这个实验启示我们：教师要放心的放手让学生自主学习，让学生按自己喜爱的方法学会思考，学会解决问题，主动经历知识产生、发展、形成的过程。教学中要注意培养学生自主学习的能力，能让学生自己去思考的题目就绝不先说；能让学生自己说的就绝不代讲。充分发挥学生的自主性，让学生展开自主学习的翅膀，充分享受“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的自主学习的乐趣。

王老师教学活动的每一个步骤都是学生自身认知发展的需求，都是“顺理成章”的，学生都能自然的融入到教学活动中，主动思考、尝试、探究。在利用天平的“平衡”与“不平衡”写出一些式子后，引导学生进行分类，学生想到了按照“平衡”与“不平衡”的标准来分类，教师由此引入了“等式”与“不等式”，同时用大集合圈表示“相等”和“不相等”的式子。然后又顺应学生的认知需求，及时提问：能不能将“相等”的式子继续分类？紧接着学生继续观察、比较，共同讨论，很快就发现“含有未知数”和“不含有未知数”的分类方法。这样的教学活动有了学生的主动参与和“明确急需解决的问题”，就能使学生的发现、探究和合作等学习活动更切实、更高效。

三、融入教师自然的内心世界

好的数学课堂教学一定要有教师自由的创造，而自由的创造必定需要融进教师的身心，也只有如此教师才会享受到快乐。王老师鲜明的个性和独特的风格，从她的教学语言中就能够看到。如“体重相差太大，既玩不起来又很危险”，从这句话可以看出，王老师是在提醒大家不能玩这样危险的游戏，从内心里为学生的安全着想。“请同学们仔细观察，认真思考，把你的发现和大家一起分享”，从这句话中流露出王老师是在和同学们一起享受学习和发现的快乐。“老师很高兴，因为课堂上要的就是这种‘百花齐放百家争鸣’的局面”，这是在同学有了不同见解时，王老师发自内心的高兴。“经过三个同学的不断补充，真理诞生了：方程一定是等式，等式不一定是方程”，这是当同学经过不断修正，得到一些结论时，王老师把这些结论视为真理。“恭喜大家，都有自己的收获”，这说明王老师和学生在一起享受收获的喜悦。师生各自满足了自己的需求，学生满足了“求知”成长的需求，教师满足了“享受”课堂的需求。