滑块—木板模型的动力学分析

　　在高三物理复习中，滑块—木板模型作为力学的基本模型经常出现，是对一轮复习中直线运动和牛顿运动定律有关知识的巩固和应用。这类问题的分析有利于培养学生对物理情景的想象能力，为后面动量和能量知识的综合应用打下良好的基础。滑块—木板模型的常见题型及分析方法如下：

 

　　例1 如图1所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的物块A和木板B，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。

 

 

 

　　分析：为防止运动过程中A落后于B（A不受拉力F的直接作用，靠A、B间的静摩擦力加速），A、B一起加速的最大加速度由A决定。

 

　　解答：物块A能获得的最大加速度为：．

 

　　∴A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为：

 

　　        ．

 

　　变式1 例1中若拉力F作用在A上呢？如图2所示。

 

 

　　解答：木板B能获得的最大加速度为：。

 

　　∴A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为：

 

　　 ．

 

　　变式2 在变式1的基础上再改为：B与水平面间的动摩擦因数为 （认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力），使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。

 

　　解答：木板B能获得的最大加速度为：

 

　　设A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为F_m，则：

 

　　    解得： 

 

　　例2 如图3所示，质量M=8kg的小车放在光滑的水平面上，在小车右端加一水平恒力F，F=8N，当小车速度达到1．5m/s时，在小车的前端轻轻放上一大小不计、质量m=2kg的物体，物体与小车间的动摩擦因数μ=0．2，小车足够长，求物体从放在小车上开始经t=1．5s通过的位移大小。（g取10m/s²）

 

 

　　解答：物体放上后先加速：a₁=μg=2m/s²

 

　　此时小车的加速度为：       

 

　　当小车与物体达到共同速度时：

 

　　v_共=a₁t₁=v₀+a₂t₁       

 

　　解得：t₁=1s   ，v_共=2m/s

 

　　以后物体与小车相对静止： （∵ ，物体不会落后于小车）

 

　　物体在t=1．5s内通过的位移为：s= a₁t₁²+v_共 （t－t₁）+ a₃（t－t₁）²=2．1m

 

　　练习1 如图4所示，在水平面上静止着两个质量均为m=1kg、长度均为L=1．5m的木板A和B，A、B间距s=6m，在A的最左端静止着一个质量为M=2kg的小滑块C，A、B与C之间的动摩擦因数为μ₁=0．2，A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ₂=0．1。最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力。现在对C施加一个水平向右的恒力F=4N，A和C开始运动，经过一段时间A、B相碰，碰后立刻达到共同速度，C瞬间速度不变，但A、B并不粘连，求：经过时间t=10s时A、B、C的速度分别为多少？（已知重力加速度g=10m/s²）

 

　　解答：假设力F作用后A、C一起加速，则：

 

　　而A能获得的最大加速度为：

 

　　∵      ∴假设成立

 

　　在A、C滑行6m的过程中：    ∴v₁=2m/s

 

　　                         

 

　　A、B相碰过程，由动量守恒定律可得：mv₁=2mv₂   ∴v₂=1m/s

 

　　此后A、C相对滑动： ，故C匀速运动；

 

　　                    ，故AB也匀速运动。

 

　　设经时间t₂，C从A右端滑下：v₁t₂－v₂t₂=L    ∴t₂=1．5s

 

　　然后A、B分离，A减速运动直至停止：a_A=μ₂g=1m/s₂，向左

 

　　                                  

 

　　 ，故t=10s时，v_A=0．

 

　　C在B上继续滑动，且C匀速、B加速：a_B=a₀=1m/s²

 

　　       设经时间t₄，C．B速度相等：   ∴t₄=1s

 

　　       此过程中，C．B的相对位移为：，故C没有从B的右端滑下。

 

　　然后C．B一起加速，加速度为a₁，加速的时间为：

 

　　                                   

 

　　故t=10s时，A、B、C的速度分别为0，2．5m/s，2．5m/s．

 

　　练习2 如图5所示，质量M=1kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数 ，在木板的左端放置一个质量m=1kg、大小可以忽略的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数，取g=10m/s²，试求：

 

 

　　（1）若木板长L=1m，在铁块上加一个水平向右的恒力F=8N，经过多长时间铁块运动到木板的右端？

 

　　（2）若在铁块上施加一个大小从零开始连续增加的水平向右的力F，通过分析和计算后，请在图6中画出铁块受到木板的摩擦力f₂随拉力F大小变化的图象。（设木板足够长）

 

 

　　（解答略）答案如下：（1）t=1s

 

　　（2）①当F≤ N时，A、B相对静止且对地静止，f₂=F；

 

　　②当2N<<i>F≤6N时，M、m相对静止，

 

　　③当F>6N时，A、B发生相对滑动， N．

 

　　画出f₂随拉力F大小变化的图象如图7所示。

 

 

　　从以上几例我们可以看到，无论物体的运动情景如何复杂，这类问题的解答有一个基本技巧和方法：在物体运动的每一个过程中，若两个物体的初速度不同，则两物体必然相对滑动；若两个物体的初速度相同（包括初速为0），则要先判定两个物体是否发生相对滑动，其方法是求出不受外力F作用的那个物体的最大临界加速度并用假设法求出在外力F作用下整体的加速度，比较二者的大小即可得出结论。