1．奇异吸引子的概念

奇异吸引子——决定市场运行秩序的根本性循环结构和特征

（1）奇异吸引子简介

    奇异吸引子，又被称为奇怪吸引子或混沌吸引子，奇异因子的概念是茹勒（D.Ruiie）在20世纪70年代提出的。它是指事物在非线性（混沌）运动过程中，对其运行轨迹（秩序）具有关键性决定作用的范式（paradigm），即模式或模型，是混沌运动过程中内在的根本性结构。奇异吸引子具有分形结构和自相似性特征，是分形几何学研究的对象。

    奇异吸引子的一个著名例子就是洛伦茨吸引子，就是美国气象学家洛伦茨最早在研究天气预报中的大气对流问题时，根据洛伦茨模型得到的。

    奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子具有不同属性的内外两种运动模式：在奇异吸引子外的一切运动都趋向于吸引子，即事物表面看似杂乱无章的运动在按照某种既定的规律或秩序在进行，属于事物发展过程中关键性的稳定因素。但是在奇异吸引子内部随时都在产生不稳定的变化，属于可能改变事物运动轨迹的不稳定的因素。

    （2）奇异吸引子的特点

    奇异吸引子具有两个主要的特点：

    第一，奇异吸引子的运动对初始条件的变化表现出极强的敏感依赖性。初始条件的微不足道的差异，就会导致运动轨道的截然不同，造成巨大的差异。

第二，奇异吸引子（的结构）往往具有非整数维，比如0.618、1.236、1.618维等，而且具有自相似性。

1976年，美国物理学家M.J.费根鲍姆发现，奇异吸引子具有标度的无关性。即，当把测量标尺的比例放大后，吸引子的局部结构与整体结构相同，而在越来越小的尺度上进行度量的时，同一种形态的结构依然相同或相似。

在证券（股票、期货、现货、外汇等）市场中，奇异吸引子表现为市场运动过程中遵循的根本性循环结构或特征。这种根本性循环结构，包括涨跌力度、折返比率、波动时间等。它们同样具有分形结构和自相似性的诸多特征。

    2.奇异吸引子对初始条件的微小变化极为敏感

    对于市场来讲，初始条件就是足以改变或左右市场根本性循环结构或特征的，关键的初始性价格变化。初始条件，又称为关键性运动因子，如关键位置出现的关键性K线走势，也可以是初始性循环结构等。

混沌理论认为，奇异吸引子对初始条件具有极为敏感的依赖性。表现在市场运动中，就是市场（价格）趋势的根本结构或运行特征，对关键性位置区域，关键性价格走势的初始变化具有极为敏感的依赖性。

    也就是说，市场的根本结构或运行特征对关键位置发生的价格走势的微小变化极为敏感。这种微小的变化可能导致随后市场的运行格局发生巨大的改变。

    混沌理论对投资分析的指导意义：

    第一，定位和判断关键性运动因子在市场走势分析中具有决定性意义；

    第二，在市场非线性演进过程中，切线分析技术得到了拓展和升华；

第三，通过自相似性分析可以把握市场演进结构的基本特征。

    3.曼德布罗集合对市场分析的启示

  ——黄金分割率是市场演进过程中重要的奇异吸引子

20世纪，美国著名数学家贝诺·曼德布罗先生（Benoit B. Mandelbrot）对混沌理论的发展作出了卓越的贡献。

他研究发现，自然界任何不规则的客体，尽管其外在表现形式是不规则的，就如佛罗里达州的海岸线一样无法通过直尺来精确度量。但是，不论将其放大和缩小多少倍，这种不规则的特征（或程度）都不会发生改变。他把不规则客体这种具有自我相似性的特征（即不规则程度），称作分形维度，简称为分形（fractal），并在此基础上开创了分形几何学。

分形几何学成为研究自然界不规则客体中所隐含的特定规则性的重要工具，贝诺·曼德布罗先生成为分形几何学的奠基人。

作为分形几何学的数学基础——曼德布罗集合，为事物的非线性演进描绘了基本的运行轨迹，是自然界不规则客体演进过程中遵循的根本分形模式。

分析发现，电脑绘制的曼德布罗数字集合的图形，像鹦鹉螺一样，具有显著的螺旋式逐渐放大的结构特征，其中的一个显著特点就是，向内按照著名的黄金分割率0.618的比率收缩，向外按照1.618（0.618的倒数——注）的关系扩展。

而且，以曼德布罗集合为基础，在0维和1维空间之间（即点和线之间），有一个最著名的空间，被曼德布罗称为康托微尘（Cantor’s  Dust），它的分形维度为0.63，与著名的黄金分割率0.618十分相近；而在1维和2维空间之间（即线和面之间），另一个有名的空间，被称为“谢儿宾斯基垫圈”，其分形维度为1.58，与黄金分割率0.618的倒数1.618也极为接近。

由此看来，黄金分割率0.618及其衍生比率1.618，是自然界不规则客体向前演进过程中遵循的一种十分重要的分形维度，是一种极为普遍的自然现象。

同样，股市、期市、外汇等交易市场的价格曲线，由于均呈现处不规则的变化特征，因此，混沌理论和分形几何学对市场走势的分析同样具有十分深远的影响。

有理由相信，在具有非线性运动特征的股票、期货市场的价格变化过程中，黄金分割率0.618及其衍生比率1.618等，同样是一种十分重要的分形维度（比率）。实际上，在市场运动中，0.618及其衍生比率（包括0.382、0.5、1.382、1.618等）经常作为证券价格曲线向前演进过程中的重要比率。

    那么，黄金分割率是如何被发现的呢？他在自然界以及市场变化中具有什么样的分析意义和作用呢？