《矩形》教学案例

教学内容：沪科版八年级数学第20.3节矩形第一课时。

内容分析：

本课时主要内容是矩形的定义、矩形的性质以及由矩形知识推导的直角三角形的性质。教材直接给出了矩形的定义，接着要求学生画一个矩形，通过度量四条边、两条对角线及四个角的度数，从而得到矩形的性质，然后由矩形的对角线相等且互相平分的性质推出了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的结论,最后介绍矩形性质应用。

学情分析：

在本章中同学们已经学习了四边形、平行四边形知识,加之小学中学习的长方形,使得同学们知道了四边形具有不稳定性、什么样的图形才是长方形，掌握了平行四边形对边相等且互相平行、对角相等、对角线互相平分等性质，为学习矩形的有关理论打下坚实的基础。

教学目标：

知识与技能：

掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；

        会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题。

过程与方法：

学生通过自学，亲身经历知识的形成过程，培养了自学能力。经历动手探索矩形有关性质,让学生在直观的操作活动中学会简单的说理，发展初步的合情推理能力和主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法。

情感、态度与价值观：

培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值。

教学重点：矩形的性质。

教学难点：矩形的性质的灵活应用。

教学方法：先学后教，当堂训练。

教具准备：由四根木条构成的平行四边形模型、橡皮筋、多媒体课件。

学具准备：平行四边形教具，橡皮筋。

教学过程：

一、创设情境、引入课题。

老师：上课。

学生：老师好。

老师：同学们好，请坐下。同学们，请看大屏幕。（大屏幕上显示了一个矩形图形，左侧有一个标注图，内容是：亲爱的同学们，你们能认识我吗？）

学生（齐声回答）：长方形（部分同学回答矩形）。

老师：你们是怎么知道矩形的呀？

部分学生答道：我们预习过了。

老师：很好，我们就要像这些同学学习，要养成课前认真预习的好习惯。

在说话的同时，老师轻轻地按下鼠标，大屏幕上弹跳出“矩形”两个艺术字。

二、合作探究、研究课题。

老师：这是一个矩形，它就是我们在小学学习的长方形。那么，什么样的图形才是矩形呢？请看大屏幕。

大屏幕上展示着日常生活中常见的实物：五星红旗、地板砖、八年级数学课本，在每个实物旁边弹出“我是矩形”、“我也是矩形”、“我还是矩形”（动画设置为弹跳）。

老师要求同学们拿出平行四边形模型，老师也拿出一个由四根木条（其实这是老师家的衣架改装而成的）组成的平行四边形模型，老师和学生一起转动相邻两边。

老师：由于四边形具有不稳定性，平行四边形相邻两边在转动过程中，什么在变，什么没变？（要求同学们注意观察模型和大屏幕上的平行四边形动画演示，感受变化因素与未变因素，并与自己的同伴讨论交流个人观点。）

学生也操作者手中的模型，同时观察着大屏幕中的动画演示过程，同位同学相互交流着、思考着什么在变，什么没变。

一会儿，有部分小组发言人举手示意讨论完成，老师点名回答。

学生1：我们小组认为平行四边形的形状变了，面积变了，周长没变。

学生2：我们小组认为平行四边形的四个角都变了，对角线也变了，而四条边的长度没变。

老师：两个同学都代表了自己小组的观点，这两个小组表现都很棒，特别是学生2所在的小组，他们分别从角、对角线、边三个角度加以总结，很有条理、很全面。老师不断地转动着教具，当转动到有一个角是直角时，要求同学们也停止转动，老师解说此时一个伟大的矩形就“诞生”了。由此，矩形实际上是一个特殊的平行四边形。学完这一节课内容，同学们应该学会（展示教学目标）：

1.理解矩形的概念, 了解它与平行四边形之间的关系;

    2.探究并掌握矩形性质; 理解并掌握矩形性质的推论;

    3.应用矩形性质解决实际问题，提高应用数学知识解决实际问题的能力。

请同学们齐读学习目标。为了实现这些学习目标，下面我们让同学们结合大屏幕上的自学提纲，阅读教材第83-84页的内容。要求：时间8分钟；当堂记住矩形的定义、矩形的性质；小组讨论自学指导上的几个问题。8分 钟后老师检查并让学生回答。下面自学开始。

自学指导：

学生们自学完后教师再按下面三个途径进行“后教”：

1.检查自学效果。

2.学生完成例题及变式题。

3.老师点拨。

老师宣布自学效果检查开始，老师用鼠标点“途径1”，幻灯片跳到自学指导，老师提问：有一个角是____ 的平行四边形叫做矩形。请学生3回答。（老师在黑板上板书）

学生3: 90。

老师：很好，在这里我们也可以填“直角”。

老师：教师演示着教具模型，当模型相邻夹角转到直角时，停止转动，再请同学们思考其余角的度数又是多少呢？请学生4回答。

学生4：都是直角。

老师：为什么？

学生4：因为平行四边形的对角相等，邻角互补，我假设这个角是90（学生4举起了自己的教具，演示给大家看），对角相等，所以对角是90，其余两个分别与这个90是邻角，他们也是90。因此矩形的四个角都是直角，他们都相等。（老师在黑板上板书）

老师：学生4考虑问题真全面，而且很有逻辑。那么同学们能否口述一下如何证明矩形的四个角都是直角呢？老师在黑板上画了一个矩形并标上A、B、C、D四个字母。

老师：这是一个文字型命题，我们要先画图，然后写已知、求证、最后证明。现在请同学们一起口答。

学生（齐答，老师也跟着叙述）：已知：如图示，四边形ABCD是矩形。

      求证：∠A=∠B=∠C=∠D=Rt∠.

      证明：不妨设∠A=Rt∠，

因为ABCD是矩形，所以∠A =∠C= Rt∠，

又因为邻角互补，所以∠A+∠B=180，∠A+∠D=180

所以∠B=∠D=Rt∠

老师：同学们回答得很好。同学们再观察转动着的教具模型，除了矩形的角在变以外，还有什么在变呀？

学生：对角线。

老师：我们知道，平行四边形的对角线是互相平分的，矩形作为特殊的平行四边形，它的对角线肯定也是互相平分的，此外，它还应该有它自己的个性（特殊性）。那么，它的对角线又有什么特殊性质呢？老师和学生用橡皮筋挂在模型的相对顶点上构成对角线，让学生观察，并请学生5回答。

学生5：我们小组刚才通过度量模型发现，矩形的对角线相等。（老师在黑板上板书）。

老师：矩形的对角线不但互相平分，而且相等，为什么呢？下面请学生6到黑板前面来完成，其余学生在下面完成。

学生6是这样完成的：

已知：如图，四边形ABCD是矩形。

 

求证：AC=BD.

证明：因为ABCD是矩形，

所以∠ABC=∠DCB= Rt∠，AB=DC

在 ABC和 DBC中，

∠ABC=∠DCB，AB=DC，BC=BC

所以 ABC DCB。

老师：下面找个学生来评价一下学生6的解答过程。

学生7：学生6的回答我认为是正确的。

学生8：学生6的解答是正确的，但在叙述公共边相等时有一点问题，应该为BC=CB。

老师：同学们看看大屏幕上的解答吧。

因此矩形的对角线不但相等，而且互相平分。正因如此，在矩形中，存在着很多的等腰三角形，也存在着很多的直角三角形，下面我们看问题3。请同学们观察教材84页图20-26，回答图形中有哪些等腰三角形和直角三角形？

     学生9：：等腰三角形有四个，他们分别是 OAB、 OAD、 ODC、 OBC。

     学生10：直角三角形也有四个，他们分别是Rt ABC、 Rt ABD、Rt DCA、Rt DCB。

老师：同学们，你们会画直角三角形吗？在草稿纸上画画看。

老师在黑板上一下子画了8个矩形。

老师：同学们，注意啦，下面我们来一个“非常擦擦擦”。

说着，老师便用黑板擦在图形中擦去多余的线，一下子得到了不同的直角三角形和等腰三角形。

学生：（哈哈大笑）真好玩。

老师：由于矩形的对角线相等且互相平分，矩形对角线交点到四个顶点的距离相等，因此在矩形中，存在着多个等腰三角形；又由于矩形的四个角是直角，因此在矩形中，存在着多个直角三角形。其实，我们用两个同样的直角三角板，也可以拼出一个矩形，老师拿起两个全等的三角板进行演示。

同位的两个同学也拿出三角板在一起拼矩形，此时同学们亲身感受到矩形与直角三角形的密切联系。

老师：既然矩形与等腰三角形、直角三角形是紧密联系、形影不离的，那么我们今后千万不要忘记利用等腰三角形和直角三角形的一些性质来研究矩形类问题。他们之间都是相互的，利用矩形性质也能得到直角三角形的性质，用大屏幕展示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这是所有直角三角形都满足的真理。老师再次展示“非常擦擦擦”，让同学们感受为什么直角三角形斜边上的中线是斜边的一半。老师告诉同学们，由于时间关系，关于这个性质，我们将在下一节课从理论上加以证明。

老师：下面，请同学们一起完成例题（用鼠标点击，链接到例题幻灯片）。要求小组合作、讨论。

5分钟后。

老师：例题要求同学们用两种方法，同学们完成了吗？

学生：完成了。

一些同学已经高高地举起了手。

老师：请学生11口头分析。

学生11：由于矩形ABCD的对角线相等，易得AC = BD。又因为矩形作为特殊的平行四边形，对角线互相平分。

所以OA = OD

在 AOD中，∠AOD=120，所以底角相等，且都等于30。

在Rt ABD中，30所对的直角边等于斜边的一半，

于是得到对角线等于8cm。

老师操作课件，展示大屏幕中的答案，让学生们观察。

    老师：学生11的答案与大屏幕中的答案是一模一样的。很好，大家掌声鼓励。这道题有没有其他的方法呢？

学生集体回答：有。

老师：请学生12回答。

学生12：根据矩形的对角线相等且互相平分，得到 ABO为等腰三角形，由三角形外角等于与其不相邻的两个内角之和。容易求出 OAB每个角都是60，从而 OAB是一个等边三角形，所以OB=AB=4cm。因此对角线长度为8cm。

老师用幻灯片展示第二种方法:

 

老师活动：用幻灯片展示例题的两种变式。

变式一：已知矩形的一条对角线长8cm，两条对角线的夹角为60°，矩形的长与宽各为多少？

变式二:如图1，矩形ABCD的两条对角线交于O，且∠AOD=120°你能说明AC=2AB吗？

     学生活动：先进行自我分析，然后小组讨论，达成共识。

三、课堂小结，发表感言。

老师：下面进行“后教”的第三个途径，教师点拨。矩形既然可以由平行四边形变化得到，在变化过程中，我们知道，它的各边都没变，因此矩形的边与平行四边形一样，对边相等且平行，而角和对角线发生了变化。因此这节课我们重点研究了矩形关于角和对角线方面的特殊性质。在今天这节课中，你学习了这些知识后还有哪些收获呢？请同学们交流交流。

学生13：我知道了矩形的四个角都相等，都是直角。

学生14：矩形的对角线相等。

学生15：由矩形的性质得到直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半。

学生16：矩形和等腰三角形、直角三角形联系紧密，研究矩形往往离不开应用等腰三角形或直角三角形的一些性质。

学生17：老师今天的“非常擦擦擦”好好玩（同学们大笑）。

学生18：我是矩形，我也是矩形，我还是矩形，也好玩。

学生19：图形的弹跳动画也好玩。

学生20：我们的老师也好玩。

……

学生越说越离谱，教师赶紧宣布新课已结束。下面布置作业，此时教室才安静了下来。

四、布置作业，应用所学。

 课堂作业：习题第1题；练习第1题。

 家庭作业：基础训练基础平台1。

 选做题：以“矩形的自述”为题，写一篇矩形独白，可以充分发挥自己的想象。题材不限，字数200-1200。

五、当堂训练，巩固新知。

现在开始当堂训练：

1、课后练习2、3、4；

2、幻灯片中的习题：

①.下面性质中，矩形不一定具有的是（      ）。

A．对角线相等     B．四个角都相等

        C．对边平行且相等 D．对角线垂直

②.连接四边形各边中点的到的图形是矩形，则原四边形一定是（     ）。

A．对角线相等的四边形       B．对角线互相平分且相等的四边形

C．对角线互垂直平分的四边形      D．对角线垂直的四边形

③. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为（     ）。

A．50°      B．60°       C．70°        D．80°

④.如图,矩形ABCD中,AB<BC,对角线AC、BD相交于点O,则图中的等腰三角形有     个.他们分别是               。