约分、 短除法的巧用

                                    ——奇妙的首尾呼应法

                          云南省威信县扎西镇张冕苗圃希望小学   王德刚 

    内容摘要：小学数学的教学中，异分母的加减法是学生学习的一大难点。实际上学习中我们只要将约分或短除法的运用变通一下就能有效的解决相应难题，同时也发现该方法对分数比的化简、分数除法计算也具有同样妙用效果。笔者为了给极大多数学生的学习中及教学同行的教学过程中提供有益借鉴，力求在共同交流学习中不断成长的目的,因此特将其整理成文如下。

    关键词：约分 　短除法  独有内核因数  首尾呼应法  　　

    

    异分母加减法、分数除法、分数比的化简是九年义务教育小学高年级阶段数学教材中的内容，其中异分母加减法关键部分是通分，快速掌握通分的途径则是用短除法求公分母，这些可是每一位教过该知识点的教师都知道的常识。在短除法中求公分母的方法是通过草稿过程求最小公倍数，传统的求最小公倍数法是将分解出来的因数全部相乘，并同时判断分子应乘以的数。实际计算过程中不仅全部因数相乘的运算量大易错外，而且计算分子应同时乘以的数时还须用最小公倍数分别去除以相应分数的分母，因而也出现同样的问题。特别当涉及到多步计算，且各分数的分母为两位数以上时将更增加很多不必要的计算时间。为了克服这类难题，我摸索出了以下“首尾呼应法”巧用段除法与约分是极其简单而有效的，且经进一步研究发现该方法也能够运用于分数比的化简与分数除法之中。

    一、“首尾呼应法”的短除法与约分在异分母加减法中的草稿过程巧用。         

     （一）、 举例说明                

    例1、一步计算 4/15 + 3/20=[4x(4)]/[15x(4)]+[3x(3)]/[20x(3)]                    

 

    （１）、短除法：   15   20         （２）、约分: (15的独)(20的独)

                   5└────                    有内核因数 有内核因数

                      3     4                         3       4

                    (15的独)(20的独)                  15　    20

                   有内核因数 有内核因数                                 

    通过(1)短除法方式，我们用传统最小公倍数法计算公分母时：即5x3x4=60 ，求分子时反应较为迟钝的学生还须将最小公倍数60分别除以分数4/15的分母15或分数3/20的分母20去求相应分数的分子应乘的数才能往下计算，这就显得比较多余。因为直接用前一分母15去交叉乘以后一分母20所分解出来的最后互质时的因数4即可，同时也可立即判断出分子4应乘以相同的数为4。同理也可直接判断出后一个分数的分子与分母同时去乘以前一个分母所分解出来的最后一个互质时的因数3即可(分母也可以直接用前一个分数计算所得的分母，因15x4=20x3=60）。同理运用(2)约分方式，也可明显判断简易做法。这不仅减少了一定的计算量，且节约了相应的时间，以上这种方法后面统称为“首尾呼应法”。

    例2、短除法的多步计算： 7/54-3/36=[7x(2)]/[54x(2)]-[3x(3)/36x(3)]

   （１）、短除法：                          （２）、约分：　　　

                                  　　　             (54的独)(36的独)

    　　　　　　　　　　　　　　　  　           　   有内核因数 有内核因数              

                             54 36　　　　　　　　　　　　3    2                                    

                          2└──── 　　　　　          9    6

    首先用短除法计算即：       27 18       运用约分方式即：27　18　

                           3└────　　　　　　　　　　 54  36                                  

                              9   6                          

                           3└────

                              3   2                                                   　                                     (54的独)(36的独)

                        有内核因数 有内核因数

    我们通过(1)短除法方式，用传统最小公倍数法计算公分母时：即2x3x3x3x2=108,算起来感觉就复杂得多，如果计算分子和分母共同乘以的数时还须用108去分别除以相应分数的分母54或36，计算既浪费时间，出错的可能性又多。如果直接用“首尾呼应法”即当两分母被除到互质时用前一个分数的分母54去乘以后一个分数的分母所分解得的最后一个因数2即是该算式的公分母，分子7同时乘以2即可。后一个分数只须用分母与分子同时乘以前一个分数的分母分解所得的最后一个因数3即可，（因分母也可以直接是前一个分数计算所得的分母，54x2=36x3)不必再计算。同理通过（2）约分方式，也可以直接用“首尾呼应法”得出相应的做法，很容易掌握，效率显而易见。

    （二）、内涵证明及引出的通分的法则、实质的决定因素、公因数的一般规律。

    在第一个例子中的传统最小公倍数法计算公分母5x3x4=60中，５是15与20的公因数，３、４则分别是15与20的独有内核因数。也就是由于３和５是分数4/15 的分母15的因数，４则只是分数3/20的分母20的独有内核因数，通分时只需分数4/15 的分母与分子同时乘以相同的数4即可。同理４和５是分数3/20的分母20的因数，３则只是分数4/15的分母15的独有内核因数，通分时只需分数3/20的分母与分子同时乘以相同的数3即可。

    在第二个例子中的传统最小公倍数法计算公分母2x3x3x3x2=108中，前面依次的2、3、3是54与36的公因数，计算中所出现的54、27、９、3是54的独有因数，后面的3则是54的独有内核因数。所出现的36、18、6、2是36的独有因数，最后一个２则是36的独有内核因数。通分时为了计算上的简便只需：分数7/54的分母与分子同时乘以相同的数2即可。同理分数3/36的分母与分子同时乘以相同的数3即可。

　　在这两个例子中，不难看出上边约分方法也是用分母的公因数去约，最后直到分母互质为止。与短除法比方法虽异，其理却同。

    由以上证明不难推出:(1)、异分母加减法的计算法则即在异分母的加减法中，当所有分母被除到或约分到互质时，可将其中任一分数的分母乘以其它所有分数的分母独有因数的积作为公分母，同时利用分数的基本性质分子也要乘以相同的数，然后将计算后所得的分数按同分母分数的计算法则进行计算。（2）、通分实质上取决于与本分母同时被约分或被段除到互质时的其它分母的独有内核因数，这样才有可能达到计算简便的目的。（3)、公因数的这一规律:在除0以外的一切整数范围内，任何一个数都与其它数具有公因数，且公因数都小于或等于其中绝对值最小之数。

  　二、“首尾呼应法”短除法或约分在比的化减中的草稿过程巧用。

    比的化减是小学六年级数学中部分知识内容，其中分数化减部分运用这种短除法或约分同理也可节省许多时间且较易掌握。下边试举例说明如下：

   例1、将分数比 7/54 : 3/36化为最简单的整数比。

                             54 36　　　　　　　　　　　　3    2                                    

                          2└──── 　　　　　          9    6

    首先用短除法计算即：       27 18       运用约分方式即：27　18　

                           3└────　　　　　　　　　　54  36                                  

                              9   6                          

                           3└────

                              3   2                    

    我们如果运用传统方法时则多出了这几步及相应的时间：（1）求最小公倍数即2x3x3x3x2=108,(2)前项与后项同时乘以分母的最小公倍数并约分即：7/54:3/36= （7/54）x108:（3/36）x108                                                                                               如果运用上边“首尾呼应法”方法直接就可判断约分后分数的分子应分别相乘的数即7/54：3/36=（7x2):(3x3)=14:9,省去了连乘求最小公倍数部分，可谓即其简捷，其它分数比的化减同理推之。（分数比的化简也可以运用分数除法的方法再结合约分的方式去做过程上较为直观明了，这里举例是为了进一步将所发现的段除法与约分的巧用在不同分母运算的推广。）

　　三、“首尾呼应法”短除法或约分在分数除法中的草稿过程巧用。

　　　我们如果将上面分数比改成分数除法,那么7/54÷3/36=（7x2)÷(3x3)=14/9，也就会发现出分数除法的另一种做法，即在两个不同分母的分数除法中，可以先用两个分数的分母的公因数去除，直到两分母互质为止，再用两个分子的公因数分别去除分子直到互质为止,然后再用被除数的分子的独有内核因数乘以除数的分母的独有内核因数所得的积作为结果的分子，用除数的分子的独有内核因数去乘以被除数的分母的独有内核因数所得的积作为结果的分母。当然从计算过程的呈现形式讲这种计算方法始终没有教材上所述分数除法方法那样一目了然，但毫无疑问通过运用两分母寻找互质因数的方法去做的相应知识是完全客观存在的，由此更进一步将所发现的段除法与约分的巧用在不同分母运算的推广了。

   四、“首尾呼应法”短除法与约分的本质及脱离草稿的直观实算举例。

　　其实，从本质上讲，段除法与约分都是用不同的几个数的公因数去除，因而段除法也是约分的一种异化表现形式。只不过现在教材上所说的约分所体现的是分子与分母之间的关系，它主要运用于分数的乘法计算与单一分数的化简之中，可以直接在计算过程中予以体现，极为直观明了。而段除法与本文中的约分所论及的是在异分母的加减法中不同分数分母与分母之间的关系，此时运用在异分母分数的加减法计算过程中的通分阶段时，其目的是将分母不同的分数化为分母相同的分数的计算阶段的简化运用。如果在分数比的化简与分数除法中运用时,不仅体现在分母与分母之间的关系上,而且也体现在分子与分子之间的关系上。虽然也比较简单，但其过程与加减法计算一样只能呈现在草稿纸上。那么有没有直观明了的计算过程呢？实际上只须将约分结合如上的首尾呼应法就可以体现出来了。

    加减法举例：

      １、  3/25+4/15=[3x(3）]/[25x(3）]+[4x(5)]/[15x(5）]=29/75      

　　　　　　　 5    3                                 

　　　２、　7/20-9/30=[7x(3）]/[20x(3）]-[9x(2）/[30x(2）]=3/60    

 　　　　 　　4    6                    

 　　　　　　 2    3                    

     二分母下边的对应数为逐次用它们的公因数去约分所得的相应独有因数，最下边的两个数是两分母约到互质时各自的独有内核因数，前一个原分数的分子与分母同时乘以后一个分数的分母的独有内核因数所得的数作为相应分数通分的分数值，后一个原分数的分子与分母同时乘以前一个分数的分母的独有内核因数所得的数作为相应分数通分的分数值，再按同分母的加减法计算进行。                                                                    

    除法举例：3/25÷6/15=（1x3）/（2x5）=3/10

             1 5   2  3

    分子与分子约，分母与分母约，互质时被除数的分子与除数的分母之积作为值的分子,除数的分子与被除数的分母之积作为值的分母。以本题分数的表现形式讲，也就是互质时左右外端之积作分子，里面二数之积作分母。在“首尾呼应法”中将通分过程与分数除法对比不难得出它们都是与本数同时被约分或短除到互质时为止的其它数的独有内核因数相关，它们的唯一区别是除法中分子与分子可以约分，而异分母加减法中的通分则不能。另外这里要强调的是当涉及到多步计算时纸张的版面耗费量就大，因而相应过程也只适合体现在草稿纸上。

   五、运用“首尾呼应法”短除法与约分方式所涉及的以下相关基础知识必须强化。                

    （1）、关于2、3、5倍数的几种规律必须从不断的练习中巩固熟练，否则仍然让学生感到无所适从。（2）、关于乘法口诀的熟练背法。我认为应从口诀表中“任一因数提问法”入手去进行强化训练或许才能达到理想效果，也就是二年级时大家所熟知的由乘法口诀转变而来的除法口决，而不是大家所熟知的“得数提问法”。如：2什么得6？生答为3 ；什么3得6？生答为2。所余乘法口诀背法类推。如果不能照此熟练素质差的学生仍然无所适从。（3）、多位数除以一位数的口算能力必须熟练过关。为了照顾素质差的学生相关的口算技巧相信很多老师们都摸索出自己的秘诀出来了，这里简略介绍威信县石坎小学刘相云老师的“大、中、小数法”，即将乘法口诀表中的9个因数分为三个段：大数7、8、9，中数4、5、6，小数1、2、3，然后判断已有因数（或2或3或5或其它数）与各段的末尾数之积与相应被除数最高位始相比较，随即判断出所求因数是哪个段位的数，再从该段位中求因数，除不尽的也用同样方法继续求后一位相应因数。                                                               

    最后感言,我们在实践教学工作中,高效的教学是多方面因素共同结合的结果，其中关键的一点是要注意善于从知识本身所呈现的形式上去研究、发现知识本身所呈现的问题，从而做到老师与学生共同去教、学知识中转变到发现知识，使课堂教学成为研究发现知识的基地。当然要真正做到这一点，我们千万不能对差生听之任之，或者以另一极端进行逼压致使其产生学习中厌学心态。诚然差生有其先天素质上的原因,但为了对得起我们身上所肩负的重担,我们应该真抓实干，踏踏实实在差生上下功夫，努力研究差生在学习中所表现出来的多次耐心辅导下仍不懂的根源。虽然我们不能从根本上改变差生本身“顽石班”的先天素质，但却能将差生作为研究发现知识的源泉动力，使其成为我们走向教学研究领越新天地的一大持续性着力点。

   参考书目：

1、卢江、杨刚主编九年义务教育教科书五年级春季学期《数学》，人民教育出版社2006年10月第2版。

2、卢江、杨刚主编九年义务教育教科书六年级秋季学期《数学》，人民教育出版社2009年3月第2版。

３、卢江、杨刚主编九年义务教育教科书二年级秋季学期《数学》，人民教育出版社2013年6月第1版。

  

   注：

1、本文中的约分呈现形式与教科书不同，其目的是为了对比论证短除法的实质。

2、独有因数是指用公因数去除所得的相对应的因数和原数，独有内核因数是指两个或两个以上的数经过短除法或本文中约分方式用公因数去除直到它们两两互质为止时的各原数最后所对应的因数。                              3、通分不用其它的独有因数，用独有内核因数的目的是为了计算上的简便。

4、文中异分母加减法计算学生最初学习研究探讨阶段分子和分母同时相乘的数应先标识乘号与括号，再用短除法或文中所示的约分方式求括号里的数，再用求得的数填入括号，顺序不应错乱，更利于大多数学生掌握。  

   

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