从网上可以看到，一些网友对我关于数学的观点感兴趣。以前在博客中只是零零散散发表过一点观点，因此在此再做一些补充。由于这是一个宏大的话题，我的观点只是一点肤浅的感悟，权当抛砖引玉，引大家讨论。

关于数学的本质和定义， 西方学者已有很多经典论述。柏拉图指出“数学是一切知识中的最高形式。”罗素认为“所有数学是符号+逻辑”。康托声称 “数学的本质在于它的自由”，即不必受传统观念束缚，可以任意地构造理论。布尔巴基学派认为“数学是研究抽象结构的理论。”从20世纪80年代开始，一些美国数学家极力谋求对数学定义做出符合时代的新尝试，他们倡导把数学视为“模式的科学”（seience of pattern），这里的“模式”，不仅具有广泛的内涵，而且又具有高度的概括性。模式既包括最直接反映客观世界本质特征的数的模式、形的模式、运动与变化的模式，也包括数学逻辑推理的模式，以及存在于数量、空间、时间、结构乃至想象之中的更高层次的模式。

国内学者通常认为数学是关于“数与形”的学问，虽然这在原则上是对的，但对一些现代数学进展的概括还是有点勉强，例如数理逻辑和群论就很难说是关于现实世界“数与形”的学问，而是可以用于研究现实世界的“数与形”，博弈论也不完全像是关于“数与形”的学问。根据个人的学习经历，我觉得数学就是一些明确无误的关系和流程，因此可以定义为“数学是逻辑相容的命题和关系的集合”。这是因为数学不仅是由命题、论断、关系和模式组成，而且你还必须明明白白地推理和证明出来。

关于数学与大自然的关系，伽利略的名言是 “自然界的书是用数学的语言写成的。”开普勒认为“对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理秩序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。”培根说“数学是科学的大门和钥匙。” 恩格斯论断“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”冯.诺伊曼指出“数学中一切最好的灵感，甚至人们可以想像的最纯的数学中的灵感，都是来自自然科学的。”爱因斯坦认为“纯数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律，这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙。”“数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为他的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。…另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化，给予自然科学某种程度的可靠性。”

由于数学仅仅是逻辑相容的命题和关系的集合，因此是可以任意地构造的，相当于一个无边无际的海洋。大自然是一个和谐的整体，其构造和演化一定满足内在的因果规律和制约关系，这些因果规律和制约关系正是数学的内容。因此可以说，客观规律只是数学海洋中的一些很小的封闭小岛，数学覆盖了自然规律。大自然只用到了一点点最简单最优美的数学。

关于逻辑和客观真理的关系，逻辑只涉及命题与命题之间的蕴含关系而不管命题本身的对错与真假，例如欧氏几何和非欧几何都是符合逻辑的数学理论，但它们的结论之间是矛盾的。而且严格说来欧氏几何和非欧几何也都不是客观真理，因为时空是一个演化的整体，而且是弯曲的，并不符合这些经典几何。

关于纯粹数学和应用数学的关系，从一些文章和网上的讨论可以看出，通常认为，理论数学家主观地构造和研究新的理论，像开发好了的产品一样，等着其他人拿去用，然后就产生了应用数学。个人觉得这种观点是不对的，好的应用数学问题才是纯粹数学的源头活水和行动指南。例如广义相对论的课题极大地推动了微分几何的研究和发展。有人可能会立即反驳，黎曼是在广义相对论之前提出黎曼几何的。这当然是事实，但别忘了黎曼几何当时具有明确的应用背景，例如船体的流线型设计，机翼的造型就需要曲面几何。由于数学的本性，人们确实可以随心所欲地构造新的数学理论，但只有具有现实应用背景的数学才是最好的数学。

关于抽象性和实用性的平衡，数学理论并非越抽象越好，而应该兼顾抽象性和实用性的平衡。例如几何代数本来是一门具有很广适用面的统一语言，但国内的科普文献采用布尔巴基的抽象定义，看了让人如坠雾里烟云。从我的博士后报告《物理学中一些基本问题的探讨》可以看出，我很早就已经意识到其在基础物理学中的重要性，在这里转悠过一段时间。当时一定看过一些科普介绍和专业论文，由于不能轻易看出与物理理论的联系，结果错过了多年。直到2017年在James Nester教授的点拨下，才重新回到了起点。再如微分几何中的移动标架，本来dx^a是切空间中的坐标微元，只是一个变量而非矢量，但用抽象记法和线性泛函映射为矢量，为理解造成了很大障碍。基矢量的变化d e_a本来是一个很容易理解的概念，但现在的微分形式则拐了几个弯，专业外的人士很难准确掌握和应用。其实，应用过于抽象的概念，专业人员也是会犯错的，例如奇点定理，我很早就意识到这里存在问题，并举出了反例，这次也作为问题列在论文《基础物理学中的几个数学问题》中了。