一，素材：

家  庭  计  划 假设，生男还是生女的概率在婴儿出生前是相同的，（事实上是有着细微的差别，但这对下述问题并不产生影响）。   问题1，分析研究一个家庭，如果该家庭第一个孩子是男孩，那么第二个孩子也是男孩的概率是大，是小，还是各为50%？   问题2，询问任何一个女孩，是否还有一个兄弟姊妹？如果有，那么这个兄弟姊妹同样是一个女孩的概率是大，是小。还是各为50%？   问题3，一个家庭决定，直到第一个女孩降生才不再要下面的孩子。那么，请问他们怀上第三个孩子的最大概率是多少？ 如果所有的家庭都这样打算，那么女孩是否会比男孩多？

二，问题提出：

 

 

如何采取措施？ A）询问你的同学（请注意在各自的问题中所提到的条件）。民意调查的结果与你的预先猜测以及你的解决方法一致吗？ B）安排一个随机实验，以测试你的猜测。 C）系统地清点所有的可能性。

三，解决方法的提示：

 

A）一项班级民意调查的结果：

人们对问题1和问题2的信息需求是有区别的。最好的方法是首先尽可能多地用下述调查表格来获取信息：

请按年龄次序来填写你的所有兄弟姊妹的性别！

 

例如，“JMM”表明家庭中最大的是男孩，然后是一个女孩，最小的又是一个女孩。

一所学校的民意调查结果如下：

 

135个女生家里还有一个兄弟姐妹，其中75个是兄弟。

230个男生在家里是老大，排行比他们小的兄弟姐妹中有120个是男孩。

B）模拟随机实验：

最简单的方法是猜硬币正反面，（女孩=人像，男孩=数字）。对于上述问题1来说，务必测试数字后面仍然出现数字的概率有多大？

对于上述问题2来说，务必不断地反复猜硬币，直到第一次有人像的一面出现。

C）数学模型：

问题1：生育是一个独特的结果，因此占50%；

问题2：所有四个2个孩子的家庭都是同样有可能的。

向一个女生问及她的兄弟姐妹，结果是每四个女孩中有两个女孩是有一个姐妹的，（啊，姑娘，不是计算家庭！）

问题3：从树形图表中可以看出：概率最终是每三个孩子中有一个是女孩，用数字形式表示为：

1/2 + 1/4 +1/8 = 7/8 = 87.5%

每个家庭女孩的中间数（平均数）为1；

每个家庭男孩的中间数（平均数）同样也为1。

 

四，教学法评价：

这一数学作业难度的潜力显示，如果小心地沿着一条用数学描述的途径走，就会同时迈着单一的步伐跨向一个数学模式的房间。这一情况说明下述表格：

这里被推荐的任务可以为例如高中阶段概率计算问题行为指向的恢复服务，因为许多基本概念可以重新被研究和被重复。

具体实施的建议：

问题1，

开始男女学生调查第一个问题。他们给出一个估计，并说明这一估计可能发生情况的理由。然后他们在选择三个行为方式的数学建议中选择比较接近的一个（或许多个）的解释，并在小组中进行讨论。结果将会被某一个小组提出。可能的结果是：

    估计：

    “50%，因为性别不受两个孩子的影响。”

    “少于50%，因为平均男孩必须与女孩出生得一样多。”

对此，人们处于辩论的焦点，大量的规则与统计学的独立性之间的协调距离会有多大，双方的观点凭直觉被确定为“势均力敌”！

具体问题a）

“在班级中进行的一次民意调查中所有的第一个孩子是男孩并至少有两个孩子的家庭均被注意到了。12个家庭中有7个家庭的第二个孩子也是男孩。那就是说，得出的相对频率约为58% 。我们确定，采用50%的概率不受约束。

     这一个组尤其认识到样本的说服力问题。

具体问题b)

作为被测量的模型我们选择了猜钱币正反面（人头 = 女孩，数字 = 男孩）。与此同时，对100个两个孩子的家庭的分析采用扔钱币的方法。结果得出一个52%的出现率相对频繁的概率，即一个男孩出生之后又出生一个男孩的模式。当然，人们或许还能将扔钱币的概率提高，但是我们相信，存在50%的概率。毕竟硬币并不知道这一小组除了纯粹的数字结果外，还在起草不受统计影响的概念。

具体问题c）

“两个孩子的家庭，男孩——男孩 / 男孩——女孩 / 女孩——男孩 / 女孩 ——女孩等各种模式均有25%的相同概率。只有最初两种结果对这一问题关系重大。由此可见，得出2 / 4概率 = 50% 。”

 这一个小组利用了先验——概率概念。当然，也许他们只用1 / 3的相同概率按在 JJ  JM  MM 这样的结果上，这样就有可能导致一个错误的答案。这肯定非常有趣，这一错误的结论如果也不是从一个学生小组得到的话，那么就对此进行讨论。这种错误结论在这儿同样容易在具体例子中被搞清楚。而且可以在数学模型教学中清楚地理解概率空间的合适构图的重要意义。人们可以具体地在这一点上，例如将概率空间作为方法引向比例关系中去。

 

问题2，

男生和女生可以按照这一个图表研究这两个问题。同时，现在每个小组都应该运用所有3个开始着手解决问题的方法。当然，面对前一阶段的答案，该项调查很少有吸引力。尽管如此，这种调查还是应该进行，因为被询问人的选择的问题是这样的，所以最后必须考虑具体例子中的正确典型  （当然，人们可以在超越问题后立即开始这一问题。）

猜测：

      “50%，因为兄弟姐妹的性别是受统计影响的”

      “少于50%，因为被询问的女孩没有把自己计算在内”

具体问题a）

“在对所有女孩进行的调查中我们断定，只有4个女生确实有一个兄弟姐妹。我们由此也将有3个子女或更多子女的家庭也计算在内。但是，从第三个起的所有孩子并没有被考虑进去——同样，如果他们正好是被询问者自己本人的话。除此以外，我们同样对男孩也这样做。该问题的原文现在是这样：“你的第二个兄弟姐妹与你性别一样吗？”答案应该是同样的。以这一答案，以一个40%的频率，我们相信，事实上概率要小于50% 。”

这一学生小组将按照样本扩展后的需要转换了。同时，他们务必进一步考虑被询问对象的选择。这一点对以后进行模型讨论是一个重要的前提。对此，他们已清楚认识到问题的对称性以及正确的应用方法。

尽管如此，可惜答案的结论仍然是错误的。

具体问题b）

“扔钱币的活动仍象以前那样地进行着。在两次扔掷中，所有的JJ答案都不加考虑，因为人们没能询问女孩。然后，从这种扔钱币中选出来的每个女孩都被询问到。得出一个50%的概率。根据我们的做法，我们可以肯定，一定是50%。”

但也可以设想为：

“大约每3个家庭现在就有2个女孩。”

 在计划和实施中，学生们已正确地将样本中不太重要的部分排除在外并以此找出这里所急需的相对频繁性——在其他下降的概率中也许会冒出25%的概率。但是，第二小组没有将被询问女孩的选择放在一起做数学模型，于是就出现了错误的答案。恰恰在这一非常实际的操作方式中第二个算式错误被很好地避开了。

具体问题c）

“进入问题的家庭均与 MM、JM、MJ、JJ这样的性别组合有着相同的概率。询问任何一个女孩，会被告知有一半人是还有一个姐妹的。”

可想而知，而数学模型错误原因在于下述“速射解决方式”

“从可能的组合 JM、MM 中可以得出所有女孩中的2 / 3有一个姐妹。”

“从可能的组合 MM、JM、MJ、JJ 中可以得出1 / 4 家庭有2个女孩。”

“在所有的组合中只有 MM、JM 和 MJ 是重要的。”

这一解决方法在事后反映——如果他们接受过学生的建议，那么这一点原本也是会发生的——存在一个解决模型问题的好办法，至少能帮助学生看到严格检查模型适当程度的重要性。这里“从错误中学习”的要求是有特殊示范性的。

 

问题3：

这两个这里所包括的问题自然只适合于作为模型实验的（具体问题b）或者数学计算的（具体问题c）的处理（加工）。第一个问题特别是服务于以后的准备工作。这是在概率计算中常常出现的问题，（dass der intuitive Zugriff auf eine Fragestellung mit den Tatsachen in Widerspruch zu stehen scheint – man nennt dies gerne ein Paradoxon， auch wenn es keines ist – kommt hier besonders deutlich zu Tage. ）人们愿意称这是一种自相矛盾（悖论）。一个女孩极限值的选择，如同这儿所描述的（另外顺便提一下，生育文明将实际情况在有意识地反过来），确实真正应该引向女孩过剩。但是，全球性的研究观察提供这一结论，人们考虑按时间顺序和尽可能一个孩子接着一个孩子地——不受统计影响——出生。

在这一情况下，一种模型实验不仅仅是引向数值估计价值，相反地这种内在关系特别清楚公开。学生们似乎在进行一种“用扔钱币决定家庭计划的方法”，他们始终一再这样在决定家庭的“命运”。现在，不同的结论M、JM、JJM、JJJM、JJJJM等等，得出的是不同的相互平衡的概率，务必估计到50%女孩的相对数目。这变得尤其一目了然，如果人们产生的“家庭”列入一个长长的序列，例如“JM、M、JJJM、JM、M、M、JM、M”。去除逗号，geht also zu globalen Sichtweise über erkennt, 这种选择策略为什么和不仅仅能够没有影响。

 一种详细的情况数学计算可以按照计划目标来包括各种观点：

 ○期望值的概念和计算。在描述中作为树型图表的描述中人们立刻就能看清楚：在每个家庭确确实实在期待一个女孩的出生，而男孩的期望值就不这么明显。人们可以倡导限制家庭人数，例如把孩子限制在5个以下。然后让人们保持这样的期望值，例如关于中等期望值的研究。

 ○无穷大数目的研究及其收敛性问题。因为女孩数目的期望值总数明显为1，问题是，保持以q = 1/2的几何级数的直观性解释。男孩数目的期望值收敛性则很少有目共睹的。

此外，从树型示意图中还可以回答其他许多问题。第3个问题的答案是1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8。人们同样断定，关于互补的结果（第四个孩子始终还是男孩）的一种理解能力也表明 1 – 1/8 = 7/8。

 

五，继续进行讨论的观点

事实上的家庭计划更可能是另外一种样子。也许一个接着一个生儿子才是人们真正愿意（在我们那儿也是这样）。人们在男性婴儿呱呱坠地时往往会欢呼：

   “乌拉（万岁），终于是个男孩！”

除此以外，在其他方面也往往是男孩比女孩好，每个家庭的“生育策略”也是不同的。生男孩或生女孩的相对数的影响到底如何呢？

可能切合实际的看法是：

○对大多数有3个女孩而没有男孩的家庭来说，可能会放弃生育。

○第一个孩子是儿子而还要第二个孩子的家庭仍有一定的百分率。

○尽管男孩女孩有相同的概率，然而也许有的妇女宁可要女孩，有的妇女宁可要男孩（这一观点靠得住吗？）男孩以及女孩数目的影响将会如何？〔简单地说，人们会相信比如：存在男孩母亲（60%生男孩，50。5%生女孩）或女孩母亲吗？〕

由此产生的计算重新导向树型示意图并让人们利用其基本部分，因为它局限了最终的示意图。