第一部分

公元1852年前后，有一个名叫弗朗西斯·古斯塔的数学系大学生想出一个极富创造性的问题。即在地图上将政治主张不同的国家与地区用不同的颜色来表示，以方便于人们区别相互接壤的国家。

印刷工人很早就知道这种地图印制方法，随便什么地图只要用四种颜色来着色就足够了，保证不会有两种颜色相同的国家相邻。但是，古斯塔是确认采用四种色彩着色方法的第一人。他写了一封信给当时的伦敦数学学会创始人奥古斯塔·摩尔根教授。于是，这一技术秘密就这样才慢慢被流传、普及开来。然而，真正搞明白这项技术问题原理的却是当年剑桥大学的阿瑟·凯利教授。因为他成功地将此项技术归纳为一个数学问题。

当四种颜色足以将相应的地图表面的国家一清二楚地区分开来时，那么，人们就一定能够说出其中有价值的规律，并将它纳入数学的普遍规律之中。当然，首先应该能够证明它，至少无人会说画一张地图四种颜色不够用！

这便是四色问题的两难选择。人们既无法证明也无法反证这一问题。          

此外，人们也许会问，这到底是不是一个真正的数学问题，不只是一点点，不然的话数学家试图用什么来填满他们的工作。当时就是无人知道，在这四色问题的背后究竟隐藏着什么。在人类数学史上，此类现象发生得并不少。往往历经数百年之久，才能在一次极其偶然的机会中发现非同寻常的自然现象与客观规律之间的结合点，以及表面上看来完全没有联系的事物之间却能找出一个共同的起源。也许，在四色问题背后隐藏着出乎意料的数学发现呢！

出于这一原因，不知怎么搞的，数学家们在这一问题上总有一个不太满意的感觉。1976年沃尔夫冈·哈肯教授与尼瑟·艾普尔教授经过多年努力终于发现了一个数据。他们借助计算机证实了四色问题猜想的正确性，并计算出大量可行性数据。他们找到了所谓的约数图形，以及平面图形所有可能的编排方式，这一约数图形的总数是受到限制的，总计为1936种。他们可以证明，在所有的约数图形中使用四种颜色就足够了。然后，他们还完成了任何情况下都只要四种颜色便足够使用的证明。

事实上，所有的平面图形都能够划分成平面围绕型的或平面交错型这两种类别，结果，四种颜色仍然始终足够使用。

任何一个希望尝试一下的人都可以用平面的任意编排来做实验，也许会有可能勾画出一幅四色不够用的地图！

第二部分

四色问题十分适合数学实验，因为人们能够进行一些思考。首先，人们可以将平面的编排称作“封闭平面”，并对此定义为：在分块平面的编排中，任何一块局部平面至少都与另一块局部平面接壤，称之为封闭平面。

很明显，在四色问题中“彼此接壤”的事实情况起着重要作用。人们能否将此定义为：在任何条件下两个平面彼此接壤？通俗地说是非常简单的，就是两个平面间没有其他平面！人们能否通过数学语言这样表达：“两个平面彼此接壤，假设没有其他平面存在”？在下述示意图中很清楚，刚才所下的定义不合适，因为它不太明确，在这同一个问题上这样的陈述既适合同时又不适合。而“唯一性”恰恰是数学上的一个明确要求。

在上述示意图a中平面A和平面C不接壤，因为它们之间还隔有另外一块平面。在上述示意图b中平面A和平面C接壤，虽然它们之间还有其他一块平面。如果想要挽救这一定义，那么就必须说清楚，平面应该处于什么位置与怎样的情况。这样便可以获得一种封闭性平面的大量分块平面的可能性编排。此外，这个几何问题也许还是一个组合分析的理论问题呢。可是没有人断言，四色问题是一个几何问题。但是无论如何它也应该是一个“拓扑学”问题（拓扑学是数学的一个组成部分）。

如果人们不议论平面，那么首先得说说平面之间的接壤是什么？如何给接壤下定义呢？是同时属于两个平面的线段吗？接壤线本身很难下定义，因为它也没有一个明确的投影。那么，我们不妨试用“彼此接壤”来替代。可能应该这样来下定义：两个平面彼此接壤，当两个平面间的间隔到处一样而且可以缩小到任意小。从中人们甚至可以引申出接壤线的确切定义：接壤线是一条想象中的线段，它始终处于两个彼此接壤的平面之间。

现在人们应该能够给予接壤线另外的性质。例如：任何一条接壤线要么没有，要么有两个极限点（边缘科学上的问题）。那么如何给极限点下定义呢？一条接壤线（边界线、国界线）上的一个极限点是这样一个点——两个彼此接壤的平面终止地方的这个点。人们肯定还可以将它表达得更好一些，因为在一个极限点上平面彼此接壤开始得同样好。接壤线的性质原则上会产生两种平面的编排可能，要么接壤线没有极限点，然后一个局部平面封闭在另外一个局部平面之中（示意图a）。或者，它不被封闭，而是至少有一条带有两个极限点的接壤线（示意图b）

它本身没有明显的作用，看上去就是经过两个极限点的一条接壤线，       沿着接壤线平面按照定义彼此接壤。

当人们将这一定义放到开头，则还可以将这个封闭性平面的定义搞得更正确：在局部平面的编排中，任何局部平面至少有一条接壤线的平面，人们称之为封闭平面。根据这一新的定义，现在可以引出其他结论。如果同样适合两个彼此接壤的平面组成一条接壤线，那么反过来也应该适合，公用一条接壤线的两个平面彼此接壤。这样看来似乎是简单的倒转，但是严格地说，人们可以从一条接壤线的存在推断出两个平面的存在，并以此推断出人们着色时所需要的两种不同颜色的存在。

因而，人们可以将不同颜色数目的问题与接壤线数目问题结合在一起研究。当然也要结合它们各自的情况。让我们来观察形式下述情况，封闭平面有极限点。如果正好任何一条接壤线都有两个极限点，那么反过来说每个极限点至少有一条接壤线。现在在任何一个极限点上都会有任意多的接壤线开始或终结。这就可以得出这样的结论，任意多的直线可以相交在一个点上（这是一个纯几何事实）。由此可以知道，任何一个点都可以有任意多的接壤线，从中我们可以推断出任何一条接壤线均可以将这一个极限点当作自己的极限点。

与此同时，必然还会有其他的极限点存在，因为按照定义，任何一条接壤线刚好有两个极限点。今后，可以以此类推出一个并不彼此接壤的封闭平面的局部平面。这一结论非常重要，这样在其间人们便可以重复使用同一种颜色。当这一可能性成立，人们就可以尝试，寻找最少但又是必要的不同颜色的数目。

当一个极限点能够成为任意多接壤线共有的极限点时，那么也肯定存在只带有两个极限点的封闭平面（示意图a）。

人们可以在示意图b中看到，理论上应该可以画出任意多的平面。但如果只有两个极限点存在，那么一种颜色在染过两个平面之后还可以重复使用（示意图b）。

如果多于两个极限点存在，情况就不一样了。自己下的定义得出，始终只能有一个成双的极限点数目。（也许并不是这样，那么这个定义将要修改。但人们始终只能在一个位置上编结极限点）。在4个极限点上最大限度能够有3个彼此接壤以及只要3种颜色便足够着色的平面。（示意图a）

有趣的是，还有6个极限点的情况。这里就有一个只用3种颜色就足够着色的封闭平面（示意图b）。

当然，也有必须用4种颜色才够着色的例子。（示意图c）

由此可见，在下述示意图的图形a和图形b之间必须有不是立刻清楚但明显对平面颜色问题起作用的区别。

（数学翻译，勉为其难的翻译，立此存照）