《自然哲学的数学原理》中的“牛顿插值公式”

当然，在欧洲“牛顿插值公式”的发现不只属于Newton，同时期的格雷戈里（gregory）、莱布尼茨（ Leibniz）也享有独立的发明权。为了便于大家快速理解这个公式的用途和来由，我们使用现代符号来表示：

我们称之为“插值公式”是因为根据已知的n个点得到的这个公式，可以用来近似的估计原函数在其他点的函数值。就好比在这n个点之间插入了一个比较贴近原函数的值，这个功能与“拟合”类似，但不同的是，“插值公式”中已知的n个点一定满足公式。

“插值公式”的证明不困难，只需设

并将n+1个点的值逐一带入f(x)求出系数即可。

Newton在这里首次引入了“差商”的概念，差商指的是两个点之间纵坐标之差比上横坐标之差，即y/x。

数学中不可避免的会遇到这些新概念，但我们只要多看看，熟悉了也就顺眼了。现在，对“插值公式”稍作变化。令“插值公式”中的c=x,并让x→0得，

这就是大名鼎鼎的泰勒级数（Taylor series）。

泰勒级数是牛顿插值公式的一个重要推广和运用，由于可以轻松将无理函数转化为级数展开形式，泰勒级数在分析学形成早期的函数求导、求积中扮演了最重要的角色。

从“分析”的角度计算正弦值

根据泰勒级数可以得到正弦函数y=sinx的级数展开式：

如下图，即使是取

，也可以较好的估计y=sinx在（-90°，90°）之间的值。以18°的正弦值为例，g(π/10)≈0.30902与sin(π/10)的值0.30901699...在小数点后5位才出现悬殊。

用y=g(x)来估计正弦函数

当然如果我们取的级数展开式的项数越多，得到的正弦值也就越精确。而结合当代计算机的强大功能，我们可以快速计算任意角度的足够精确的正弦值。泰勒级数的功能之强大、过程之简洁实在让人震撼！

但需要说明一点，关于“正弦函数”的展开式，虽然我们常用以上“微分”的方法来求解。但是在牛顿时代，却是通过更复杂的形式——“积分”的方法来得到的。具体参见附录【1】。再往前几个世纪，印度数学家Mdhava最早给出了正弦、余弦、正切的级数展开式，只是当时的欧洲数学家并不知晓。

总结一下，从“分析”的角度解决“正弦值”问题，不但可以直接计算正弦函数在任意角度处的近似值，而且操作简单、精确度有保证，在计算机普及的今天，“正弦表”更是可有可无。但是，早期的天文学家就没有这么幸运，他们的每一次计算都离不开“弦表”，因为这是他们处理数据的基础。既然如此，那早期数学家是如何计算“正弦值”并绘制“正弦表”的呢？