微积分原理，即求面积和求斜率是互逆运算

微积分原理，一言以蔽之，即，微分和积分是互逆的运算。在同济版的高数教材中，有微积分基本定理，即∫f( x) dx= F(b)—F(a) (1)

它是什么意思呢？就是一个函数求定积分，等于积分函数之差。

再看一个微分公式，即dF( x)/ dx= f(x) (2)

它的意思是积分函数的微分等于原函数。

比较这两个公式，就可以看出，是有联系的。

让我们离开公式，积分就是求面积，这个积字就这么来吧。早在阿基米德，就用他的方法，将圆内接和外切正多边形，以其多边形边长趋向无穷时，其多边形就认为是圆。当然这里面还有哲学的含混不清。

所以积分就是求和，只不过求和的项有无穷多，稍微再多些哲学思考，这些无穷多项求和的结果并不导致无穷多，这和普通常识是有错觉的。

求和的符号是∑，比如∑n=1+2+3+4+5+……＋n

莱布尼茨将求和符号，即∑拉长，就变成了符号∫。所以求和与积分是有联系的，即求和可以说是积分的一个子集。或者简单理解，求和是有限项求和，而积分是无限项求和。

所以对无限项求和，再取极限，就是积分。

最简单的就是抛物线下的面积。在讲其之前，我们来看一个更简单的例子，即直线下的面积。这根射线将过原点和第一象限。所以该直线下的面积就是三角形面积。

那么抛物线下的面积，要将抛物线分割成比如无限个近似梯形，然后求和，当然其解要用到∑n^2，需要一定的数学技巧，就是1^2+2^2+3^2+4^2+……

上面讲的是积分的问题，而微分在概念上要简单一点，就是求曲线的切线的斜率。如果有数值计算的经验，不防计算割线的斜率，即(y2-y1)/(x2-x1),让点(x2,y2)趋近点(x1,y1),如果你有耐心计算一系列割线的斜率，你会发现它趋向一个固定的值，这个值就是切线的斜率。

牛顿和莱布尼茨发现，一个函数先求积分，就是函数曲线下的面积，然后再求所得函数的微分，即斜率，你会发现又回到了原来的函数。

就像先做加法，再做减法，这样不加也不减。微积分也是这样，无论先做积分，再做微分，还是先做微分，再做积分，你总是回到原来的函数，这就提示我们本文开头提出的答案，积分和微分是互逆的运算。