加载中…Brillouin积分方法 (Monkhorst-Pack) 1
(2009-11-05 21:31:00)
标签：
brillouin积分方法 |
分类： 基础理论 |
http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f15ead20100dxqb.html
中已经详细论述过Brillouin取点的方法。但那毕竟是转载的文章。今天自己看完Monkhorst的原始文献，觉得还是值得把自己的体会再写下来的，作为上面的一些补充吧；）
Special points for Brillouin-zone
integrations
1：选取均匀k点
一维：
q=1时，gama点
q=2时，-1/2和1/2，不含gama点
q=3时，-2/3，0，2/3
q=4时，-3/4，-1/4，1/4，3/4
二维：
q=1时，gama点
q=2时，(-1/2,-1/2);(-1/2,1/2);(1/2,-1/2);(1/2,1/2)，不含gama点
三维：
q=1时，gama点
q=2时，
(0.5 0.5 0.5)
(-0.5 0.5 0.5) (0.5 0.5 -0.5)
(-0.5 0.5 -0.5)
(0.5 0.5 -0.5)
(-0.5 0.5 -0.5)(0.5 -0.5 -0.5) (-0.5 -0.5
-0.5)
不含gama点
注：记得在哪里看到过，pwscf取k的时候，即时是q为偶数时，也会人为的把gama点加上
2：构建正交归一函数系
Am(k)在自变量是k，m只是下角标。
Cm=0;1;1.414;1.732;2......组成一个正交归一函数系。
对于简立方晶格，晶格常数为a
A_1对应的Cm长度为0;A_2对应的Cm的长度为a;A_3对应的Cm的长度为1.414a;A_4对应的Cm的长度为1.732a。
3：验证Am的正交归一性
构建Am的内积
此处实际是对中所有的k点求和。其中
中所有的k点求和。其中其中第三种情况是因为http://www.materialssimulation.com/sites/default/files/tex/d447affb2ced7e4f9ad62775477c71272df15d2f.png(Monkhorst-Pack) 1" />是奇函数
若做如下限制
则有
注：Smn其实是http://www.materialssimulation.com/sites/default/files/tex/d447affb2ced7e4f9ad62775477c71272df15d2f.png(Monkhorst-Pack) 1" />的连乘积。整个连乘积中只要有一个为0即可，不需要所有的因子都为0。因此http://www.materialssimulation.com/sites/default/files/tex/d447affb2ced7e4f9ad62775477c71272df15d2f.png(Monkhorst-Pack) 1" />为delt函数是Smn为delt函数的充分条件，不是必要条件。因此件： <; < 不一定非要满足。
; 考虑到波矢群的对称性，Smn可以化简为
其中http://www.materialssimulation.com/sites/default/files/tex/a8759a2184cf920d813735c4f9a3ba462ea65cbe.png(Monkhorst-Pack) 1" />点权重比较小的理论根本，也是特殊点法尽量避开高对称点的原因所在。 (或许这就是kshift这个参数存在的意义)
3：利用Am将任意函数展开
当m和k均为infinite时，任意以k为自变量的函数均可利用Am展开
当m和k均为有限值时，可近似为
注意，f_m是与k无关的函数。
如果在费米面内对f(k)进行积分
注意，I_m是与k无关的函数，但I_m对应的积分只能对在费米面内k点进行。
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