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2.1              调制理论

调制器的一般模型如图【2-1】所示，其中m(t)为调制信号，c(t)输入载波信号，输出s(t)为已调制信号。按照调制器的功能可将调制分为：

（1）      幅度调制（Amplitude Modulation）：以调制信号去控制载波的幅度变化，如模拟调幅（AM）、脉冲幅度调制（PAM）等；

（2）      频率调制（Frequency Modulation）：以调制信号去控制载波信号的频率变化，如模拟调频（FM）、脉宽调制（PDM）等；

（3）   相位调制（Phase Modulation）：以调制信号去控制载波信号的相位变化，如模拟调相（PM）等。

各种经幅度调制的已调信号与调制信号频谱是线性的频谱移位关系，都属于线性调制；而经过频率调制和相位调制后会派生出大量的不同于载波信号和调制信号的新的频率成分，这类调制属于非线性调制。在实际的调制系统中，可能同时存在几种调制方式。

一个信号的通用表达式为：

                                     （2-1）

其中， 是瞬时幅度， 是瞬时角频率， 是瞬时相位。以下的分析中，使用归一化的幅值，并假设基波初始相位为0。

2.1.1 幅度调制（AM）

设载波信号 和调幅波信号为 分别为

                                                    （2-2）

                                      （2-3）

其中 是载波信号角频率，2m、 和 分别为调幅波幅值、角频率和初始相位。则载波电压信号被幅度调制的一般形式为：

                    （2-4）

利用三角函数变换公式将式（2-4）变换为：

     （2-5）

可见，一个被幅度调制的电压信号含有三个频率分量：一个与载波信号同频率同相位的分量以及一对幅值相等、频率关于载波频率对称（以下简称频率对称）且相位相反的间谐波分量。时域波形和频谱图见图2-2。

 

图2-2 幅度调制后信号的时域波形和频谱图

2.1.2 相位调制（PM）

相位调制信号的一般表达式为

                                     （2-10）

其中 为调制波的角频率， 为相位调制的最大相位偏移（ ）， 为初始相位。对于式（2-2）的载波信号进行相位调制的一般形式为

                            （2-11）

利用贝塞尔函数的性质可以将上式展开为

                         （2-12）

可见经相位调制的信号中含有一个载波频率分量和无穷多对关于载波频率对称的频率分量，每对都具有相同的幅值，并且幅值最大的一对分量相位互补。时域波形和频谱图见图2-3。与图2-2对比可以注意到，无论是幅度调制还是相位调制，已调信号都可以分解为载波频率分量及频率呈镜像对称、幅值相等的间谐波分量，但是在只有相位调制的情况下，一对间谐波分量如果相位互补，时域波形幅值基本没有波动，即基本没有电压波动发生。可见，分析引起电压波动的因素时不仅要考虑间谐波的幅值，相位的影响也不可忽视，而后者的影响正是目前分析间谐波与电压波动关系中常常被忽略了的。

 

图2-3 相位调制后信号的时域波形和频谱图

相位调制后信号的瞬时幅度、瞬时角频率、瞬时相位和有效值分别为

                                                               （2-13）

                            （2-14）

                                   （2-15）

         （2-16）

由以上表达式可见，对载波的相位调制基本不改变时域波形的幅值和有效值，但是会改变瞬时角频率和相位，从而导致过零点的偏移，这一点可从图2-4明显看出。

图2-4 相位调制效应的AM和PM分量

值得注意的是，由式（2-5）和（2-12）可见，无论是对载波的幅度调制还是相位调制都可以分解为若干个正弦分量之和；那么反过来说，频谱分量的叠加总是可以解释为对载波信号的幅度调制和相位调制效应。

2.2              不同频率分量对给定频率分量的调制效应

电力系统中往往同时存在基波、谐波和间谐波，其中幅值最大、最值得关注的频率成分是基波。理论上，不同频率的分量之间会有拍频，也就是说谐波对于基波、间谐波对于基波以及间谐波对谐波都会产生调制效应。为不失一般性，以下对于不同频率成分加在给定频率分量上所产生的调制效应进行分析，分析中对所有分量的幅值都做了归一化处理。

以下由简单到复杂分析不同频率分量对给定频率分量的调制效应，具体如下：

（1）    由一对幅值相等、频率关于给定频率分量对称（以下简称频率对称）的频率分量产生的调制效应；

（2）    由一对幅值不等、频率对称的分量产生的调制效应；

（3）    由两个一般性的频率分量产生的调制效应（其中包括一个单独分量的情况）；

（4）    由一对幅值不等、频率相差2倍给定分量频率的频率分量产生的调制效应。

2.2.1 一对幅值相等、频率对称的频率分量

设给定频率分量 ，幅值归一化处理为1，相位为0；一对幅值相等、频率对称的频率分量表示为

                （2-17）

其中 、 和 分别是两个频率分量的角频率和初始相位，两者叠加在给定频率分量可表示为

      （2-18）

（1）    单纯幅度调制（Pure AM）

将式（2-18）与（2-5）对比可知，当两个间谐波分量的相位相反，即 ，它们叠加在给定分量上的效果相当于对给定分量进行单纯幅度调制，电压波动幅度为2m，波动频率为 。将各频率分量的关系用图2-5所示的矢量图来表示，其中U表示给定频率分量，两个m是一对频率镜像对称分量，相位 和 符号相反。三个分量按照各自的角频率旋转，也可以将给定分量看作静止，两个叠加的分量相对于该分量以 旋转。因为 ，所以三个分量的矢量和始终与给定分量同相位。当两个分量在正向上与给定分量重合时，电压出现最大幅值 ，当两个分量在负向上与给定分量重合时，电压出现最小幅值 ，电压变动值为

                                       （2-）

 

图2-5 引起幅度调制频率分量的矢量图

（2）    主导相位调制（Prevailing  PM）

当（2-17）中两个分量的相位互补，即 ，式（2-18）变换为

   （2-19）

可以证明

                               （2- 20）

因为幅值 ，所以忽略上式中 项后得

                                （2- 21）

这恰好是纯相位调制的表达式。

幅值相等、频率对称的一对“镜像”频率成分叠加在给定频率成分上可能对其产生单纯的幅度调制或主导相位调制，或者同时存在幅度调制和相位调制，这取决于两者的相位关系。当相位相反，呈现单纯幅度调制，引起的电压波动幅值最大；当相位互补，呈现相位调制为主导的调制，电压波动为零（当m值较大，则引起的有效值变化不能忽略，见式（2-25））；当相位非以上两种情况时，两种调制效应同时存在，且电压波动幅度在0~m之间。相位调制效应的存在，基本上不影响电压的幅值和有效值，但是会使时域波形过零点发生偏移，最大偏移量取决于调制信号的幅值m的大小。

将各频率分量的关系用图2-6所示的矢量图来表示，两个频率镜像对称的分量，相位 和 互补，即 。两个分量相对于给定分量按照 旋转，在旋转的过程中构成合成矢量U的轨迹。由U的轨迹可以看出，叠加两个频率分量后，使得合成矢量幅度和相位在最大和最小相位之间变化，最大相位 和最大幅值 分别为

，

可见在主导相位调制中，由于m的存在幅度仍然是有波动的，电压峰值波动为

                      （2-）

只有当 时， ，即没有幅度变化。通常m值很小，所以近似认为幅度调制效应不存在，以相位调制为主导。

 

图2-6 引起相位调制频率分量的矢量图

2.2.2 一对幅值不等、频率对称的频率分量

一对幅度不等、频率对称的频率分量叠加在给定频率成分上，可以表示为

   （2-26）

（1）只有一个非零的频率分量（相当于叠加一个频率分量）

当 ， ，或 ， ，则上式变为

                               （2- 27a）

或

                               （2- 27b）

可以证明

                           （2- 28a）

或

                          （2- 28b）

两种情况中的第一项都表示幅值为1/2、角频率为 的信号被幅值为 （或 ）、角频率为 的信号进行幅度调制；第二项表示该信号被角频率为 、相位调制最大相移为2 （或2 ）的信号进行相位调制。

可见原信号被分成两部分，一部分被幅度调制，另一部分被相位调制。AM分量决定了整个信号幅值及有效值的波动，而PM分量决定了相位的偏移。

类似地可以推导出当 、 时的瞬时幅值、瞬时角频率、瞬时相位和有效值，这里不再赘述。

图2-7给出了一个频率分量叠加给定分量引起调制效应的示意图。实际叠加的只有一个频率分量（幅值 ，相位 ），随着该分量相对于给定分量旋转，合成矢量的轨迹为一个圆。构造一对可以相互抵消的频率分量 和 ，其中 和相位相反， 和 相位互补。那么 分量一分为二，一部分与 共同对给定分量的一半进行幅度调制，另一部分与 共同对给定分量的一半进行相位调制。由矢量图可以计算出调制的最大相移 、电压最大值、最小值和电压峰值波动值分别为

 

 

 

 

 

图2-7 由一个频率分量叠加给定分量的矢量图

图2-8给出了一个3次谐波（0.3p.u.， ）叠加在基波上的时域波形和频谱图。可以明显看出时域波形畸变严重，但是因为3次谐波和基波同步，所以不会引起有效值的波动。图2-9给出了等效的AM分量和PM分量。从单个周期的波形可以发现：AM分量会引起波形的畸变，但是并没有改变过零点；PM分量使得过零点偏移，3次谐波的幅值越大，造成的偏移越严重。

图2-8 基波叠加3次谐波的时域波形和频谱图

 

图2-9 基波叠加3次谐波的AM分量和PM分量

将一个间谐波分量（40Hz，0.3p.u.， ）叠加在基波上，图2-10和2-11分别为信号的时域波形、频谱以及AM、PM分量。和3次谐波相似，AM不会引起相位偏移，而PM使得过零点偏移；不同的是叠加间谐波等效的AM引起幅度的波动，但不会引起波形的严重畸变。

 

图2-10 基波叠加一个间谐波的时域波形和频谱图

图2-11 基波叠加一个间谐波的AM分量和PM分量

（2）两个频率分量都不为零

当 和 都不为0且不相等时，可以证明

                        （2- 36）

其中，第一、二项表示幅值为1/4、角频率为 的信号分别被幅值为 和 、角频率为 的信号进行幅度调制；第三、四项表示该谐波信号被角频率为 、相位调制最大相移分别为2 和2 的信号进行相位调制。

 

图2-12一对幅值不等、频率对称的频率分量叠加给定分量的矢量图

图2-12为两个频率对称，幅值和相位都不同的两个间谐波叠加给定分量的矢量图。两个间谐波分量相对于给定分量以 速度反向旋转，它们在任意时刻在给定分量所在轴上的投影就是电压幅值的增量，表示为

                    （2-）

其中 。

Ø  当 时， ，信号幅值波动幅度最大，

                          （2-）

Ø  当 ， ，信号幅值波动幅度最小，

                          （2-）

Ø  当 ， ，信号幅值波动幅度

                              （2-）

图2-12给出了两个间谐波（0.35p.u.，40Hz，0，0.25，60Hz， ）叠加在基波上的时域波形和频谱图，可以明显地看出时域波形畸变严重。图2-13给出了等效的AM分量和PM分量，由图中可见，AM分量没有过零点偏移，PM分量过零点明显偏移。

 

图2-12 两个任意间谐波谐波叠加在基波上的时域波形和频谱图

 

图2-13 两个任意间谐波谐波叠加在基波上的AM分量和PM分量

2.2.3 N个任意幅值、任意频率的频率成分

N个任意幅值、任意频率的频率成分叠加制定频率成分的一般表达式为

                                     （2-37）

假设在全部的N个频率成分中，满足频率对称、幅值相等的超过成分为 对（2 个），其余 个不能配对的成分，有以下关系

          （2-38）

     （2-39）

其中，第二项为两两频率对称、幅值相等的 对成分之和；第三项为不能配对的 个成分之和，并且为了形式上一致，将每一个分量写成两项，而其中一项的系数为0。将上式变换为

（2-40）

其中 。可见，给定频率成分叠加了N个频率成分后，可以分解为对幅值为1/(4 )、角频率为 的谐波信号进行调制，其中有2 个幅调制信号和2 个相位调制信号，即

               （2-41）

2.2.4 一对幅值不等、频差为2倍基波频率的间谐波

在变频调速装置中存在AC-DC-AC环节，其中AC-DC环节为 脉波整流，DC-AC为 脉波逆变环节，产生的典型的间谐波可表示为【24】

                                        （2-42）

其中 和 分别是系统侧基波频率和输出侧驱动频率， ， 。“ ”意味着间谐波总是成对出现。当 =6， =6， ，最典型的间谐波成分为 。以下分析这种成对出现的间谐波对基波的调制效应，以及引起的电压波动。

设两个间谐波的幅值、频率和相位分别为： 、 、 、 、 和 ，并且有

，                           （2-43）

其中， （ ）是 最接近的谐波频率（包括基波）。叠加后的电压信号为

     （2-44）

利用2.2.2的结论可以将 分解为如下的幅度调制部分和相位调制部分

                （2-45）

其中第一、二项分别表示两个间谐波分量对基波分量的幅度调制效应，第三、第四项分别表示它们对基波分量的相位调制效应。由前面的分析可知，相位调制不会对幅值波动产生影响，引起电压波动的是幅度调制分量。以下单独分析幅度调制分量（前两项）对电压波动的影响。

（1）电压波动幅度与间谐波频率和奇次谐波、偶次谐波的关系

令式（2-45）为

                                         （2-46）

其中

                     （2-47）

             （2-48）

可以将 看作是基波分量被调幅波 调制后的信号，即

                                  （2-49）

其中

      （2-50）

因为 ， ，所以近似地认为 的峰值取决于 。

当 （k为任意整数）时， 取正向极大值，记作 ，

（2-51）

当 （k为任意整数）时， 取负向极大值，记作

（2-52）

和 就是幅度调制信号 的上、下包络线。当h为奇数，即两个间谐波在奇次谐波附近，

        （2-53）

当h为偶数，即两个间谐波在偶次谐波附近，

      （2-54）

图2-14给出了奇次谐波附近的间谐波对（47Hz，0.3p.u.和147Hz，0.3p.u.）和偶次谐波附近的间谐波对（97Hz，0.3p.u.和197Hz，0.3p.u.）叠加基波的时域波形。两者的波形都出现明显的波动，包络线的波动频率都是50-47=3Hz，但是前者的上、下包络线波动方向相反，电压波动最严重；后者的上、下包络线波动方向相同，电压有效值不会变化。

图2-14 奇次谐波附近和偶次谐波附近的间谐波对叠加基波的时域波形

由以上分析可以得到以下结论：

Ø  当两个间谐波分量频率差为2倍基波频率，并且各自和相邻的谐波频率差为 时，对基波产生调制效应。其中相位调制会使波形畸变（如过零点偏移），但不会引起电压幅值的波动；幅度调制会引起周期性的幅度波动即电压波动，波动频率为 。

Ø  电压的幅度调制分量的包络线呈现规律的波动，波动频率为 。当间谐波在奇次谐波（包括基波）附近时，正、负包络线的波动方向相反、幅值相等，引起的电压波动最严重；当间谐波在偶次谐波附近时，正、负包络线的波动方向一致，始终相差1（即基波幅值），不会引起电压波动。

Ø  电压波动的严重程度还取决于间谐波与谐波之间的频率差。当间谐波频率越接近奇次谐波（即频率差 越小），波动频率越大。当波动频率在人的视觉敏感范围内，且波动幅值足够大时就会引发闪变。

（2）    间谐波的幅值和相位对波动幅度的影响

            （2-55）

其中，

                                         

                                     

由（2- 45）可知，一对频差为2倍基波频率的间谐波对基波信号的调制效应等效于两个幅度调制和两个相位调制，而其中的两个AM分量可以等效为一个幅度调制效应，调制深度（即电压波动，2 ）不仅与两个间谐波的幅度 和 有关（幅度越大引起的电压波动越大），而且与它们的相位关系有关。

Ø  当 ， ，波动幅度最大；

Ø  当 ， ，且当 ， ；

Ø  当 ， ，波动幅度最小，且当 ， 。

图2-15 显示了以上三种情况的两个间谐波（47Hz和147Hz）相位差对电压波动幅度的影响，其中相位差为0时电压波动幅度最大，相位差为 时次之，当相位相反时电压波动幅度最小。

 

图2-15 两个间谐波相位差对电压波动幅度的影响