虞美人量子版

　　量子超旋何时了，

　　概率知多少，

　　霍金昨夜又发疯，

　　波包不堪回首坍塌中，

　　盒中小猫应犹在，

　　只是生死改，

　　问君能有几多愁，

　康托尔有关实无穷的观点包括以下三个方面．

　　1）数学理论必须肯定实无穷

　　康托尔指出：在数学中要完全排斥实无穷的概念是不可能的，实无穷必须肯定．因为很多最基本的数学概念，如一切正整数，圆周上的一切点等等，事实上都是实无穷性的概念；关于极限理论，康托尔指出：它是建立在实数理论之上的，而实数理论的建立(无理数的引进)又必须以这样或那样的实无穷的概念为基础，例如，戴德金分割和康托尔的基本序列都是一种实无穷的概念．极限理论事实上也是建立在实无穷的概念之上；因此，承认作为变量的潜无穷，就必须承认实无穷．变量如能取无穷多个值，就必须有一个预先给定的、不能再变的取值“域”，而这个域就是一个实无穷．康托尔又指出，数学证明中应用实无穷(无穷集合)由来已久，并且也是不可避免的．后来的数学家们，如J．L．拉格朗日(Lagrange)、A．M．勒让德(Legendre)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、柯西、魏尔斯特拉斯、B．波尔察诺(Bolzano)等人在证明中都使用过．康托尔还举出一个复杂证明的例子([8]，pp．210—212)：假设把一无穷点集分为有穷个子集，其中必有一个为无穷集．

　　2）不能把有穷所具有的性质强加于无穷

　　无穷有其固有的本质．尽管康托尔对无穷集合的研究出于数学研究的实际需要，但是他仍然面临着怎样对这种研究的合理性作出说明的问题．尤其重要的是，他必须对历史上提出的各种关于“实无穷不能成为数学的研究对象”的“论证”作出合理的解释．

　　1874年，康托尔在这方面迈出了关键性的一步．他提出了“一一对应”原则：如果在两个集合的元素之间能建立一一对应，就说这两个集合具有相同的基数，即在数量上被认为相等．这个原则构成了对传统的“整体大于部分”观念的直接否定．然而，在康托尔以前，由于这一观念的束缚，使很多数学家认为实无穷性的概念不能成为数学的研究对象；现在，康托尔则大胆地冲破了这一思想桎梏，并由此发展出一套关于无穷集合的数学理论——超穷数理论．对此，康托尔解释说：“两个集合，其中的一个是另一个的部分，而又具有相同的基数，这是经常会出现的，而且也没有什么矛盾．我认为，正是由于对这一事实缺乏认识，才形成了关于超穷数引进的主要障碍．”([17]，p．75)

　　为了更清楚地说明自己的研究工作的合理性，康托尔还曾对各种相反意见的错误根源进行分析，认为一切关于“实无穷不可能”的所谓证明都是错误的．

　　3）有穷的认识能力可以认识无穷

　　康托尔在《关于无穷线性点集(5)》里还讨论了J．洛克(Locke)、B．斯宾诺莎(Spin-oza)和G．W．莱布尼茨(Leibniz)的观点．他认为，这些人的思想虽有很多不同之处，但在无穷问题上，一致认为：“有穷性是数的概念的一部分；另一方面，真正的无穷，那就是上帝，是不允许有任何规定的．”反对实无穷的人还有一个理由是，人类认识能力是有限的，所以形成的数量只限于有穷．

　　康托尔认为，人的认识能力虽然有限，却可以认识无穷．无穷和有穷一样，是可以“通过确定的、明确的、彼此不同的数量”来表达和理解的．在一定意义下，也可以说人们有“无限的才能”，一步一步地去形成更大的数类或集合，去形成一个比一个更强的基数．

　　康托尔还强调，数学的无穷与哲学的及神学的无穷不同．超穷数可以增添，这是数学的无穷，与宗教和上帝无关．哲学上的绝对与神学上的上帝都不能被规定，“一切规定都是否定”，因之也不能增添．

　　康托尔还强调，数学的无穷与哲学的及神学的无穷不同．超穷数可以增添，这是数学的无穷，与宗教和上帝无关．哲学上的绝对与神学上的上帝都不能被规定，“一切规定都是否定”，因之也不能增添．他又说，人们可以有坚定的信念必然能够认识那“绝对的存在”．([10]，p．280)

　　但是，究竟应当怎样来认识超穷数和无穷集合的客观实在性呢？为了解决这一问题，康托尔最后倒向了神学．　http://blog.csdn.net/pongba/archive/2006/10/15/1336028.aspx

　　刘未鹏的博客，很有思想