加载中…三次样条插值函数
(2010-03-05 10:39:05)
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杂谈 |
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高次插值函数的计算量大,有剧烈振荡,且数值稳定性差；在分段插值中，分段线性插值在分 段点上仅连续而不可导，分段三次埃尔米特插值有连续的一阶导数，如此光滑程度常不能满足物理问题的需要，样条函数可以同时解决这两个问题,使插值函数既是低阶分段函数,又 是光滑的函数，并且只需在区间端点提供某些导数信息。
5.6.1三次样条函数
定义
a= =b
函数y=f(x)在各个节点处的函数值为 =f( )(i=0，1，…，n)，若S(x)满足：
(1) S( )= ，i=0，1，…，n ；
(2) 在区间［a,b］上，S(x)具有连续的二阶导数；
(3) 在区间［ ］(i=0，1，…，n-1)上,S(x) 是x的三次多项式；
称S(x) 是函数y=f(x)在上［a,b］上的三次样条插
S′( +0)=S′(
-0)，
S″( +0)=S″( -0)
此时 ，这样确定的样条函数S(x)称为周期样条函数。
5.6.2三次样条函数的计算
1用节点处的二阶导数表示的三次样条函数——三弯矩方程
由于S(x)的二阶导数连续，设S(x)在节点 的二阶导数为 ，即
S″( )＝ ，i=0，1，…，n，
是未知、待定的数。因S(x)是分段三次多项式，则S″(x)是分段一次多项式，且在每个 区间［ ］上，S″(x)可表示为
记 ＝ - ，则
将上式在区间［ ］上积分两次，并且由S( )＝ ，S( ) ＝ 来确定两个积分常数，可得当x∈［ ］时,
S(x)=
对上式求导得:
S′(x)= （7）
利用S(x)一阶导数连续的性质，在上式中令x= ，得:
将式（7）中的i换成i-1，得S′(x)在［ ］上的表达式
S′(x)=
用x= 代入，得：
利用S′( －0)＝S′( ＋0)可得:
两边乘以 ，得:
其中
这是含有n+1个未知量 共有n-1个方程组成的线性方程组，欲确定该方 程组的解,尚缺2个方程。因此求三次样条函数还要2个附加条件。
常见的问题有下面两种提法:
①第一类问题
利用前面已推导的公式，当x∈［ ］时，
S′(x)=
＝
取i＝n-1，x＝ ，得：
移项，得：
其中 与式(8)联立得一n+1元线性方程组：
其系数矩阵是严格对角占优的三对角矩阵：
可以用追赶法解出 (i=0,1,…,n)，将其代入式(6)，即得到三次样条函数的分段表达式。
②第二类问题
其系数矩阵为
这是一个三对角矩阵，由于 ，因而它是严格对角占优的。原方程组 是个三对角方程组，可以用追赶法解出 ，代入式(6)，即得到三次样条函数的分段表达式。
2用节点处的一阶导数表示的三次样条函数——三转角方程
由于S(x)的一阶导数连续，设S(x)在节点 处的一阶导数值为 ，即
S′( )＝ ，i＝0，1，…，n，
是未知、待定的数。因S(x)是分段三次多项式，则在每个区间［ ］ 上是三次多项式，且满足
S( )＝ ，S( )＝ ，S′( )＝ ，S′( )＝ ，
故S(x)是［ , ］上的分段三次埃尔米特插值多项式，当x∈［ ］时
S(x)= （ ） + ( ) +
或写为
将上式在区间［ ］上求导两次,可得当x∈［ ］时,
S′(x)= +
和
利用S(x)二阶导数连续的性质， 在上式 中令x= ，得：
S″( +0)=
将上式中的i换成i-1 ，得S″(x)在［ ］上的表达式
S″(x) == +
用x= 代入，得：
S″( -0)=
利用S″( -0)=S″( +0)可得：
两边乘以 ，得：
其中
这是含有n+1个未知 量 共有n-1个方程组成的线性方程组，欲确定该方程组的解，尚缺2个 方程。因此，求三次样条函数还要2个附加条件。有关情形与节点处的二阶导数表示的三次样条函数类似，叙述如下：
①第一类问题 附加条件①，即给出边界端点的一阶导数值： 时，则方程组为：
②第二类问题 附加条件②，即给出边界端点的二阶导数值：S″( ) ＝ ，
S″( )＝ ， 时，利用前面己推导的公式，当x∈［ ］时，
S″(x) = +
取i=0，x= ，得：
取i=n-1，x= ，得
移项，得：
其中g0=3f［x0，x1］-〖SX()h0〖〗2〖SX〗〗M0，gn=3f［x n-1，xn］+〖SX()hn-1〖〗2〖SX〗〗Mn.与式(13)联立可以建立如下方程组 ：
两种情形的系数矩阵均为严格对角占优的三 对角矩阵，可 以用追赶法求解，从而得到三次样条函数的分段表达式。
例1 已知f(x)的函数值为
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
试分别求函数f(x)满足下列边界条件的三次样条插值函数：
(1) S′(0)=1,S′(3)=0；
(2) S″(0)=1,S″(3)=0.
解， ，i=1,2.
(1)边界条件为 =0，用式(15)求解简单。由式(14)计算得
〖JZ〗f［0,1］=f［1,2］=f［2,3］=0， =0
代入式(15)得方程组
解得
利用公式
S(x)= +
i=0,1,2
并注意到边界条件 =0，求得三次样条函数如下：
s(x)=
(2)边界条件为 ，用式(11)计算简单。由
得
代入式(11)得方程组
解得
S(x)= +
i=0,1,2
并注意到 求得三次样条函数如下：
s(x)=
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