揭开“同与合十”的乘法速算秘密

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江苏省丹阳市正则实验小学    欧阳忠

［题目］2分钟内完成下列计算。

(1)15²=     25²=     35²=     45²=     55²=       65²=

  75²=     85²=     95²=     115²=    205²=      245²=

  36×34=       42×48=       53×57=        61×69=  

  78×72=       84×86=       97×93=      107×103=    

(2)12×92=       83×23=       74×34=        65×45=  

  36×76=       47×67=       98×18=        29×89=    

[分析与解秘]本题第（1）类的两个因数的首位相同，末位合起来是十，简称“首同末合十”；第（2）类的两个因数的末位相同，十位合起来是十，简称“末同首合十”。

第（1）类的因数与积之间存在以下关系：积前面至百位上的有效数字=首同数字×比首同数字大一的数；积的后两位=末合十的两数字之积。

如86×84=7224，其中8×（8+1）= 72，末两位是4×6 = 24。

上述速算方法的依据，可以用代数方法推理而得。

设：十位上的数是a，个位上的数分别是b和c，则，

ab×ac=(10a+b)(10a+c)

      =100a²+10ab+10ac+bc

      =100a²+10(b+c)a+bc

      =100a²+100a+bc

       =100a(a+1)+bc

第（2）类的因数与积之间存在以下关系：积前面至百位的有效数字=合十的两个数字之积+末同的数字；积的后两位=原末同的数字平方。

例如：24×84=2016，其中20=2×8+4，16=4²。

上述速算方法的依据，也可以用代数方法推理而得。

设：十位上的数分别是a和b，个位上的数是c，则

ac×bc=(10a+c)(10b+c)

      =100ab+10ac+10bc+c²

          =100ab+10(a+b)c+c²（因为a+b=10）

          =100ab+100c+ c²

          =100(ab+c)+ c²