从直观上理解,连续函数的图像是一条连续不断的曲线,这对于一般初等函数来说都是成立的。而闭区间上的连续函数的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点上,形成一条封闭的曲线,即与直线形成一个或多个封闭的区域。

先看何谓闭区间上的连续函数，连续的定义首先是点连续的定义，即函数在该点处的极限值等于该点处的函数值。若函数该点的极限值不等于函数值,经验告诉我们函数在该点必定断开。而若函数在区间上连续,是指函数在区间的每点都连续,在左端点右连续,右端点左连续。

下面讨论闭区间连续函数的相关性质,并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质。

1、闭区间连续函数在其定义域上有界

闭区间连续函数的图像是封闭的连续不断的曲线,可以想象这条曲线不可能纵向(y轴方向)无限延伸,而开区间上的连续函数可以在端点处无限延伸。

若函数在某点有极限,则在某点附近有界,而连续函数每点的极限都存在,因而在每点的附近都有界。

若命题条件改为开区间,端点处的函数值就像脱缰野马一样，没法控制。由此可见闭区间的条件是必须的。

2、闭区间连续函数必定在定义域上取得最大和最小值

闭区间上的连续函数有界,由确界定理知道该函数必有上下确界。由此可以联想到闭区间上连续函数总能取得最大最小值,分别对应于上下确界。闭区间的作用是令子列的极限值限制在闭区间里面。

3、零点定理

若连续函数的取值可正可负,那么此函数必定存在零点,称之为零点定理。

4、连续函数介值定理。

连续函数在区间内必能取得介于最大值与最小值之间的函数值。

从直观上看来,这是显然的。一条连续变化的曲线必会在某个时刻经过介值点。介值定理是零点定理的直接推论。

有界性,最值定理和介值定理合起来,说明了闭区间上的连续函数其值域也是闭区间,并且函数值能够取遍值域。 

5、闭区间上的连续函数必定一致连续。

一致连续说白了就是自变量无限接近时，对应的函数值也无限接近。一致连续的直观意义,就是函数的图像不会在很小的区间内变化任意大,图像每处切线的斜率不至于任意大。规定一个因变量的变化幅度,则自变量对应的变化幅度不能任意小。

由于一致连续的函数必定连续,故闭区间上的函数,连续跟一致连续是等价的。闭区间上的连续函数有紧致性,即直观理解上的封闭性,所以具有一些开区间上连续函数不具有的性质。反过来,开区间连续函数多了一些不可控的性质,譬如

f(x)=1/x函数图像在端点可以纵向无限延伸,如函数f(x)=(1/x)sin(1/x) ,其图像在端点处无限折曲。这些性质都是由于在自变量很小的变化下,因变量产生了不可控制的变化。这是一致连续的其中一个反面。开区间上一致连续的函数,除了端点外,能不能产生与闭区间连续函数相似的整体性质呢?

先讨论导致连续函数在开区间和闭区间上有相异性质的根本原因。开区间上的连续函数跟闭区间上的连续函数的根本差别在于,其左端点的右极限和右端点的左极限是否存在(开区间函数在端点没有定义,所以只从极限是否存在角度讨论,而不是从是否连续的角度)。开区间的连续函数在端点不存在左(右)极限,所以端点附近的性质如此“顽劣”:可以无限“延伸”,或无限“折曲”。在上文对有界性和介值定理的讨论里面,特别强调了闭区间条件所起的作用。闭区间有紧致性,可以通过相关的几个命题来刻画。而这些性质在开区间函数上不成立的原因,就在于端点处的左(右)极限不存在。因为只要加强开区间连续函数的条件,令左端点的右极限,右端点的左极限都存在,这时补充端点处的定义,令端点处的函数值与极限值相等,就得出一个闭区间的连续函数。这样的开区间连续函数就会在除端点外与闭区间连续函数有相似的整体性质,如有界性,证明和闭区间的几乎一样。而最值对应确界,要么能取得,要么就等于端点的极限值。

回到一开始的讨论,左右端点的极限是否存在和一致连续有什么关系?可以证明,两者之间是等价的。从直观上理解,一致连续把开区间的连续函数的两端给“封闭”了,由此可以看出一致连续和闭区间的紧致性紧密相连。