2、求y¢¢+py¢+qy=f(x)的一个特解

这里f(x)有两种特殊的形式。 

   2.1 、 f(x)=Pm(x)elx 型

    当f(x)=Pm(x)elx时,f(x)是m次多项式与指数函数的乘积，我们进行预判，多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，所以方程的特解也应具有这种形式。因此, 设特解形式为y*=Q(x)elx, 将其代入方程, 因为eλx不为零，得等式Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)。依然是对这个特征方程进行求解。非齐是建立在齐的基础之上的，我们两次的预判解和带入后的方程之间是有联系的。两次的预判都含有l有elx，那么这两个l有什么关系？

(1)如果非齐l不是齐的特征方程λ2+pλ+q=0 的根, 则l2+pl+q¹0. 要使上式成立, Q(x)应设为m 次多项式: 

        Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm , 

通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, × × × , bm, 并得所求特解 

        y*=Qm(x)elx. 

    (2)如果非齐l是齐的特征方程 λ2+pλ+q=0 的单根, 则l2+pl+q=0, 但2l+p¹0, 要使等式

        Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). 

成立, Q(x)应设为m+1 次多项式: 

        Q(x)=xQm(x), 

        Qm(x)=b0xm +b1xm-1+ × × ×  +bm-1x+bm , 

通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, × × ×  , bm, 并得所求特解  

        y*=xQm(x)elx. 

    (3)如果非齐l是齐的特征方程 λ2+pλ+q=0的二重根, 则l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式

        Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). 

成立, Q(x)应设为m+2次多项式: 

        Q(x)=x2Qm(x), 

        Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm , 

通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, × × × , bm , 并得所求特解

        y*=x2Qm(x)elx. 

    综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=Pm(x)elx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy =f(x)有形如

        y*=xk Qm(x)elx

的特解, 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式, 而k 按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2. 

2.2方程y¢¢+py¢+qy=elx[Pl (x)coswx+Pn(x)sinwx]的特解形式

    应用欧拉公式可得

    elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]

    , 

其中, . 而m=max{l, n}. 

    设方程y¢¢+py¢+qy=P(x)e(l+iw)x的特解为y1*=xkQm(x)e(l+iw)x, 

则必是方程的特解, 

其中k按l±iw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 

    于是方程y¢¢+py¢+qy=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]的特解为

          =xk elx[λ(1)m(x)coswx+λ(2)m(x)sinwx]. 

    综上所述, 我们有如下结论: 

    如果f(x)=elx [Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx], 则二阶常系数非齐次线性微分方程

        y¢¢+py¢+qy=f(x)

的特解可设为

        y*=xk elx[λ(1)m(x)coswx+λ(2)m(x)sinwx], 

其中λ(1)m(x)、λ(2)m(x)是m次多项式, m=max{l, n}, 而k 按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 

 标准化方法如下：

1、求齐次微分方程的通解

   列出特征方程 ...=0

   若b^2-4ac>0，则通解为

   若b^2-4ac>0，则通解为