§8.1.2平面直角坐标系中的中点公式

【教学目标】

  1、知识目标：了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程；掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式，并能熟练应用这两个公式解决有关问题。

  2、能力目标：理解和体会实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识，培养

         类比, 迁移, 分类 ,归纳数形结合化归的能力。

3、情感目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生勇于发现、勇于

       探索的精神；培养学生合作交流等良好品质．

【教学重点】平面直角坐标系中的距离公式；

   【教学难点】平面直角坐标系中的距离公式的应用．

【教学方法】

这节课主要采用问题解决法和分组教学法．本节教学中，将平面（二维）的数量关系转化为轴（一维）上的数量关系是关键．先从复习上节内容入手，通过构建直角三角形，将两点间的距离转化为直角三角形的斜边长，从而利用勾股定理求出两点间的距离．教学过程中，通过分组抢答的形式，充分调动学生的积极性．

【板书设计】

§8.1.2.2平面直角坐标系中的中点离公式

例：

【教学过程】

一、导入新课

■1．直角坐标系中两点间的距离公式．

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则|AB|＝

■2.已知点A(-3,0),C(2,2),则|AC|=

  已知点A(1,5), B(-5,2),在x轴上求一点，使它与点A、B的距离相等。

  解：由题意设所求的点为P(x,0)，则|PA|=|PB|

      由平面内两点间的距离公式可得

     ＝      解得x=

      ∴所求点的坐标为( ,0).

■3.已知数轴上M（3），N（-7），则M、N两点的中点坐标是  -2  。

   ■4、思考：已知点A(-3,0),C(5,2)，则A、B两点中点的坐标是    。

[顺势揭示课题，板书节名]

二、讲授新课

■1. 中点公式

【探究一】

●如图所示，若已知A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

那么怎么求它们的对称中心的坐标？ 

●设M(x，y)是A，B的对称中心，即线段AB的中点．

过A，B，M分别向x轴，y轴作垂线，AA₁，AA₂，

BB₁，BB₂，MM₁，MM₂，垂足分别是A₁，A₂，B₁，B₂，M₁，M₂．

  ● 教师提出要探究的问题，学生解答以下问题：

（1）你能说出垂足A₁，A₂，B₁，B₂，M₁，M₂的坐标吗？

（2）点M是AB中点吗？M₁是A₁，B₁的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？

（3）M₂是A₂，B₂的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？

（4）你能写出点M的坐标吗？

● 引导学生总结，教师板演结论，学生理解掌握。

在平面直角坐标系内，两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)的中点M(x，y)的坐标满足

x=，y=

■2. 应用

例1 求证：任意一点P(x，y)与点P′(－x，－y)关于坐标原点成中心对称．

【师】：例1中，点P与P′的对称中心是P与P′的中点吗？坐标怎么求？是多少？

【引导学生完成】

证明  设P与P′的对称中心为(x₀，y₀)，则

x= = 0，y= = 0 

所以坐标原点为P与P′的对称中心．

 【引导学生总结】

任意一点P(x,y)关于坐标原点中心对称点的坐标为(-x,-y)。

【练习一】 （学生抢答，教师点评．）

点P的坐标	(2，3)	(－3，5)	(－2，－4)	(3，－5)
点P关于原点 中心对称点坐标	(－2，－3)	(3，－5)	(2， 4)	(－3， 5)

【思考】：

1、任意一点P(x,y)关于x轴的对称点坐标为           ？

        2、任意一点P(x,y)关于y轴的对称点坐标为           ？

 

例2         已知坐标平面内的任意一点P(a，b)，分别

求它关于x轴的对称点P′，关于y轴的对称点P′′的坐标．

      【教师引导】

（1）如果点P与P′关于x轴对称，PP′与x轴垂直吗？

P′的横坐标是多少？

（2）PP′与x轴的交点M是线段PP′的中点吗？M点的纵坐标是多少？

（3）你能求出P′的纵坐标吗？怎么求的？

（4）由以上分析，点P′的坐标是多少？

（5）你能求出P′′的坐标吗？

【教师在学生探究的基础上进行总结】

任意一点P(x,y)关于x轴的对称点坐标为(x,-y)；

关于y轴的对称点的坐标为(-x, y)；

关于坐标原点中心对称点的坐标为(-x,-y)。

【练习二】（学生抢答，教师点评．）

点P的坐标	(2，3)	(－3，5)	(－2，－4)	(3，－5)
点P关于原点 中心对称点坐标	(－2，－3)	(3，－5)	(2， 4)	(－3， 5)
点P关于x轴的 对称点坐标	(2，－3)	(－3，－5)	(－2， 4)	(3，－5)
点P关于y轴的 对称点坐标	(－2， 3)	(3， 5)	(2，－4)	(－3，－5)

【练习三】（学生讨论，教师点评．）

已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标．

【教师肯定学生用向量的解法】

【引导学生用本节课知识解答】

(1)平行四边形有哪些性质?

[引导学生说出平行四边形的对角线互相平分]。

(2)也就是说线段AC的中点就是线段BD的中点。

(3)线段AC的中点坐标？

(4)令D（x，y），则线段BD的中点坐标？

 

解  因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．

设点D的坐标为(x，y)，则

  解得

所以顶点D的坐标为(0，4)．

 

【预备】

1、已知 A（3，y），B（x，-1），且AB中点M的坐标是（2，1），求x，y的值．

2、求点 A（1，-2）关于点M（2，3）对称的点B的坐标．

3、已知平行四边形ABCD的三个顶点A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，求顶点D的坐标． 

三、知识小结

这节课我们学习了什么？引导学生总结。

■1在平面直角坐标系内，两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)的中点M(x，y)的坐标满足

x=，y=

■2．任意一点P(x,y)关于x轴的对称点坐标为(x,-y)；关于y轴的对称点的坐标为(-x, y)；

关于坐标原点中心对称点的坐标为(-x,-y)。

■3．要灵活运用公式求平面直角坐标系中的中点公式．

四、作业

必做题：P 70  练习 A 第 2 题，第 4 题；

选做题：P 70 练习B 第 3 题．

预习：8.2.1直线与方程

五、教学后记