§8.1.1数轴上的距离公式与中点公式

【教学目标】

  1、知识目标：理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上某一点的坐标；掌握   

     数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题。

  2、能力目标：理解和体会实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识，培养

     类比, 迁移, 分类 ,归纳数形结合化归的能力。

3、情感目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生勇于发现、勇于

   探索的精神；培养学生合作交流等良好品质．

【教学重点】数轴上的距离公式、中点公式；

   【教学难点】距离公式与中点公式的应用．

【教学方法】

这节课主要采用问题解决法和分组教学法．先从数轴入手，在使学生进一步明确了数与数轴上的点的一一对应关系后，给出数轴上点的坐标的定义及记法，在此基础上进一步学习数轴上距离公式及中点公式．本节教学中，始终要坚持数形结合的思想和方法，让学生积极大胆的猜想，在探索过程中发现和归纳两个公式，以此增强学生的参与意识，提高学生的学习兴趣．

【板书设计】

§8.1.1数轴上的距离公式与中点公式

例：

【教学过程】

一、导入新课

■师：人类早期用石子来记数，但是石子记数不能移动，无法携带，于是人们又想到了用结绳等方  

     法记数．我国古书《易经》上记载有“结绳记数”的历史，即在一根长绳上打上结表示数．随

     着社会的进步，记数的方法也越来越准确、科学．到了17世纪，法国数学家笛卡儿发明了用

     直线和直线上的点来表示数的方法，这就是我们现在仍在沿用的数轴表示数的方法．

■师：数轴的三要素是什么？

●思考回答：原点，正方向，单位长度。

■师：展示数轴．

●思考回答：数轴上的点与 实数 是一一对应的．

●[问题]：在数轴上，我们应当怎么表示一个点的位置呢？

 [顺势揭示课题，板书节名]

二、讲授新课

■1. 数轴上点的坐标

 

※在数轴上，如果点P与x对应，则称点P的坐标为x，记作P(x)．

● 练习一(抢答)

观察数轴，完成下列题目：

 

（1）点P与－3.5对应，则点P的坐标是 －3.5，记作P(－3.5)；

（2）点A的坐标是  3 ，记作A(3)；

（3）点B的坐标是 －2，记作B(－2)；

（4）点O的坐标是  0  ，记作O(0)．

■2. 数轴上的距离公式

  【探究一】

如图，填空：

          

（1）图中点A的坐标是 －1 ，B的坐标是 2 ，C的坐标是 －3，点D的坐标是 1 ；

（2）点A与B之间的距离|AB|=  3   ，点C与A之间的距离|CA|=  2 ，点B与C之间的距离|BC|=  5 ；

（3）你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？

       

   一般地，如果A(x₁)，B(x₂)，则这两点的距离公式为|AB|=|x₂－x₁|．

  ●在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，如果数轴不是水平放置的，

    数轴上的距离公式仍然成立。

■3. 数轴上的中点公式

【探究二】根据下图回答问题：

 

（1）点A(－1)，C(－3)的中点坐标是多少？中点坐标与A，C两点的坐标有怎样的关系？

（2）点A(－1)，D(1)的中点坐标是多少？中点坐标与A，D两点的坐标有怎样的关系？

（3）你能找出数轴上两点的中点坐标与两个点坐标之间的关系吗？

 

 

一般地，在数轴上，A(x₁)，B(x₂)的中点坐标x满足关系式x＝． 

■4. 应用

例　已知点A(－3)，B(5)，求：（1）|AB|；（2）A，B两点的中点坐标．

解  （1）|AB|＝|5－(－3)|＝8；

（2）设点M(x)是A，B两点的中点，则x＝＝1．即A，B的中点坐标为1． 

●练习二（板演）

已知点A(－6)，B(－1)，C(2)，D(4.5)，E(7)，求：

（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|；（2）A，B的中点坐标，B，E的中点坐标．

●练习三

        1、如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，

那么A、B两点间的距离为 2或8。

        2、数轴上一点A到点B(3)的距离是5，则点A的坐标是  A(-2)或A(8)。

        3、已知数轴上A点和B(6)的中点坐标是2，则A点的坐标是  A(-2)。

4、在数轴上求点P的坐标，使它到点A(-8)的距离是到点B(4)的距离的3倍。

   解：设P(x),由题意得|PA|=3|PB|

       ∴|x-(-8)|=3|x-4| 解得x=1或10  即P(1)或P(10)。

三、知识小结

这节课我们学习了什么？引导学生总结。

■1．数轴上点的坐标P(x)．

■2．数轴上两点间的距离公式|AB|=|x₂－x₁|．

■3．数轴上两点的中点公式x＝．

四、作业

课课练p34-35，

预习：8.1.2平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

五、教学后记