《几何画板》辅助中学几何教学的实践与研究

                           芦浦中学   梁徽其   干江中学   傅华秋

 

 

摘要：几何，包括平面几何、立体几何以及解析几何，是中学数学教学中的重要内容，不仅可以培养学生的想象能力，更可以培养学生理论联系实际、学以致用。但由于几何学科本身的抽象性，特别是涉及空间时更是让学生倍感几何抽象而难学。基于此，本文探讨了《几何画板》这一新生的计算机软件辅助中学几何教学的作用与地位，并通过大量实例演示了《几何画板》用于几何辅助教学时案例的设计与教法。这将对中学数学教学改革具有科学可行的参考价值。

关键词：几何画析，平面几何，立体几何，解析几何，教学改革

 

1、新课程改革中《几何画板》辅助教学的背景

随着现代科学技术的发展，计算机已进入各个教育领域，多媒体、网络等现代信息技术的快速发展对现代教育产生了极大的影响，有力地推动了计算机辅助教学的深化和发展。计算机在教育领域的应用，使得教育的价值、目标、内容以及学习和教学的方式产生重大的变革。数学作为一门基础学科，在中学教育过程中的作用是显而易见的.数学课程要重视运用现代技术手段,特别是要充分应用多媒体组合教学方式,将传统的教学媒体与现代教学媒体有机地结合起来，把现代技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具,使学生从大量繁杂、重复的运算中解放出来,将更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。

当今，在教育心理学领域中，建构主义的学习理论正勃勃兴起，它取代认知主义而成为理论研究和教学实践的新的指导性理论，也是计算机教育应用的理论基础。建构主义理论认为“知识不是被动接受的，而是由认知主义建构的”，强调学习是学习者主动建构的内部心理过程。这一理论决定着我们的课堂教学改革应突出学生的主体作用。因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给新课程改革中学校教学带来了一场深刻的变革：用计算机辅助教学，改善人们的认知环境越来越受到重视。从国外引进的教育软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。
   《几何画板》不仅适合用于平面几何教学和学习,也可以用于代数、立体几何、解析几何等的教学和学习中。它新颖生动、感染力强，是一种模拟性、启发性的直观教学手段，由于它不但容易激发学生的学习兴趣，诱发学生的学习动机，而且可以打破时间、空间上的限制，能够让学生清楚地看到事物发展的全过程，化静为动、化繁为简、化虚为实，使枯燥的知识趣味化，抽象的语言形象化，深奥的道理具体化，有利于学生加深对知识的理解、巩固和记忆。因此，它对全面提高学生能力，培养学生素质，有着不可估量的作用。综上,研究《几何画板》在中学数学教学中的应用已是十分迫切与必要的。

2、《几何画板》的主要功能

《几何画板》(The Geometer’s Sketchpad)软件是由美国的优秀教育软件, 它是由 Nicholas Jackiw 设计，Nicholas Jackiw 和 Scott Steketee 程序实现，Steven Rasmussen 领导的 Key Curriculum 出版社出版。它的全名是《几何画板——21 世纪的动态几何》。几何画板是全国中小学计算机教育研究中心在 CAI（Computer Assistant Instruction）中推广使用的软件之一。

2.1 《几何画板》的功能

《几何画板》是一个能够构建数学模型、揭示数学规律、直观反映数学变化、动态保持形数关系的软件。它以点、线、圆为基本元素,通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等, 显示或构造出千变万化的图形。为教师和学生提供了直观、方便、快捷、准确的图形表现工具; 使学生在图形的运动和变化的过程中,观察、归纳出图形的数量关系和图形性质。

具体来说,《几何画板》提供了画点、画线、画圆的工具, 如通过画线工具可画出线段、射线、直线, 通过画圆工具可画出正圆；通过“作图”菜单提供的画平行线、垂线、以圆心和圆周上的点画圆等命令可准确作图.所有这些作图都能够体现数学概念表达的准确性,因而可以绘制所有尺规作图,演绎欧式几何。

《几何画板》提供的旋转、平移、缩放、反射等图形变换功能,可以按指定值、计算值或动态值对图形进行变换,进而可以研究某些非欧几何问题。

使用“度量”和“图表”菜单你可以在直角坐标系和极坐标系中测定图形的特征,包括测量线段长度、斜率,测量角的度数以及多边形、圆、弓形、扇形的面积,提供直线和圆的方程等功能,还能对测出的值进行运算（四则运算、幂函数、三角函数等）,因此,许多定量问题可在《几何画板》中进行研究。

在教学中,了解学生思路和对概念的掌握程度是相当重要的一个环节,利用《几何画板》的“记录”功能是了解学生几何作图思路的重要工具,而且利用“记录”还可创造出新的绘图工具以扩充其功能。

2.2 《几何画板》的特点

时下多媒体制作工具可谓名目繁多: “Authorware”、 “Powerpoint”、“课件大师”、“Flash”、“Frontpage”、“几何画板”等等.其各自的功能不同,各有各的特点,有的注重交互、有的适用于幻灯、有的能体现动画,对于不同学科的教学特点我们应对其进行恰当的选用.就数学学科而言,《几何画板》具有不可替代的特点:学习容易，操作简单，“记录”功能，图形功能，图象功能，计算功能，变换功能，动画功能，帮助功能，其他功能等。

2.3 运用《几何画板》激发学习兴趣，化解教学难点

兴趣是人类获取知识与形成技能的前提条件。《几何画板》集图、声、色、文于一体, 易于形成鲜明表象, 对激发兴趣,激活思维,提高学生学习的主动性、探究性,发展创新思维能力大有帮助。教师可根据教学内容,应用《几何画板》创设新奇的学习情境,去激发与调动学生的学习积极性。

2.3.1 突破概念、定理教学的难点

数学概念是抽象的,只有化抽象为具体,才能引导学生通过分析、比较、归纳、概括等方法发现规律,促进学生对知识的正向迁移。《几何画板》能利用图形的旋转、平移、分割、合并,以及慢镜头的分解动作,可以变抽象为具体,变复杂为简单,变隐形为显形,从而达到拓宽思维角度,降低思维坡度,化解教学难点,突出教学重点的目的。例如，圆定义、位似定义的教学等。

在数学定理的教学过程中,真正的难点是定理的发现、探索过程.传统的教学手段只能给予学生注入定理的证明过程,却不能给学生发现问题的思维环境和思维条件,而《几何画板》就能做到这一点, 创设发现问题的良好思维环境,培养学生积极探索与发现问题的能力。例如，“平行定理”的教学可利用动画，更加体现定理的真实性。

2.3.2 突破解题教学的难点

数学教学离不开解题,特别是对于问题的抽象是解题的主要障碍,如何化繁为简,化虚为实。利用《几何画板》中的动画,往往能起到出奇制胜的作用。

2.4 运用《几何画板》, 做“数学实验”

在传统学校数学教学中,数学知识都是学生通过听教师口头讲述获得的,几乎没有实验。学生多半是在听数学,听那些缺少发现过程的结论。数学学习不应是一个被动吸收知识、记忆、反复练习强化的过程,一个有意义的学习过程,是学生以一种积极的心态,调动原有的知识和经验,尝试解决问题,同化新知识并建构新的认知结构的过程。所有的新知识只有通过学生再创造的活动,使其纳入原有的认知结构中,才可能成为有效的知识。在这个过程中,如果能给学生创设一种积极的探索问题的情境,给学生的比较和抽象创造一种活动的空间和条件,他们就能在问题解决过程中理解和掌握抽象的概念。只有这样,学生获得的才是真正的数学经验,而不仅仅是一些抽象的数学结论。

2.5 运用《几何画板》,提高教学效率

《几何画板》开创了适合数学教学的多媒体交互平台,教师能在网络上获得基于这个平台的各种丰富的课件和资料,使教师的工作效率得到极大的提高。这个新工具的出现,促进了教师在网络上的交流和沟通,使教师之间能够取长补短,促进了教师水平的提高。

3、《几何画板》在几何教学中的应用

3.1 《几何画板》在平面几何教学中的应用

平面几何是研究平面图形的形状、大小和位置关系的一门数学学科。它的精髓在于在不断变化的几何图形中,研究不变的几何规律。由于几何内在规律的复杂性及其受尺规作图手段的限制,传统的教学往往是直接将规律给予学生,然后给出演绎的证明,至多对一些浅显且易于演示的几何规律给出一些图形解释。这样使得几何规律及其证明过程存在着不透明性,忽略了从感性认识到理性认识的过程，至使教师教起来枯燥，学生学起来乏味，并且学生受心理年龄的限制，缺乏足够的抽象思维能力、一定的生活经验、学习的耐心和良好的学习习惯，这些因素也将导致他们畏惧几何的学习。因此,几何教学是中学数学教学的一个难点,难就难在学生看不到知识的形成过程, 学生的学习处于被动状态.《几何画板》提供一目了然的教学意图、教学步骤及操作方法，可以在很大程度上弥补这一缺陷，激发学生的兴趣，突出重点，分散难点，提高教学效果。

例1  关于证明“任意三角形的三条高相交于一点”的教学研究

在传统教学中一般是利用直尺作出代表任意三角形的一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形,再分别作出它们的三条高(如图1)得出结论: “任意三角形的三条高相交于一点”,然后给出证明。教师对这个定理的来龙去脉即便是讲的头头是道,但是对于学生来说,从三个图形的观察得出对所有图形都适用的几何规律,显然是十分抽象的。

                                 （图1）

运用《几何画板》的动画功能,让三角形的大小与形状任意动起来,学生自己就可以发现规律, 这样,学生必然会印象深刻,牢记不忘。《几何画板》能够保持几何关系不变的功能,即使学生动态的认识了几何图形内在的规律性,又提高了学生学习几何的兴趣 。

例2关于“全等三角形”的教学研究

“三角形全等”是平面几何中的一个入门知识点，传统的教学方法是：教师先在课前用纸片做2个全等的三角形，可这总给人一种预先设计好的感觉，说服力不够强，这样致使学生不能从本质上理解三角形全等是怎么一回事.然而利用几何画板可让教师从多个角度、多个例子来说明这个问题，相信这一定能收到较好的效果。

运行此课件后，选择“选择箭头”工具，单击如图2中的 按钮，可验证 ，单击 按钮，可验证 。

 

 

图2

例3关于“同弧上的圆周角相等”的教学研究

“同弧上的圆周角相等”这个知识点比较抽象，学生学起来有一定的困难，使用传统的教学方法很难使学生从本质上理解它。如果教师在教学中能使用几何画板演示实例，让学生通过对实例不同方面的观察，在动感中真正掌握这个定理，而且理解起来会更深刻。

运行此课件后，选择“选择箭头”工具，单击如图3中的 按钮，通过点E在优弧   运动，可验证劣弧 所对的圆周角 和 总保持相等。

 

 

图3

例4 关于“圆幂定理”的教学研究

利用《几何画板》的度量功能,可以形象、直观地展示圆幂定理.圆幂定理是相交弦定理、切割线定理、割线定理和切线长定理统称。这一组定理中涉及的元素都是和圆有关的比例线段。我们以相交弦定理为例来说明《几何画板》在这一方面的应用.相交弦定理讨论的是圆的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,点P分AB、CD为四条线段PA、PB、PC、PD之间的数量关系。

由课件演示,屏幕上显示出下面的图形及数值：测量PA、PB、PC、PD的长度,计算六组数据PA×PB, PA×PC, PA×PD, PB×PC, PB×PD, PC×PD并让图形动起来,(圆可变大变小,两条相交弦的位置可以不断变化,六组数据也在不断变化),学生观察六组乘积数据, 可以看出：六组数据中有两组数据始终相等,即PA×PB= PC×PD。(如图4)观察这组乘积知,左边A、B是弦AB的两个端点,右边C、D是弦CD的两个端点.于是学生自己就可以用语言叙述出命题：“圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段的长度的乘积相等。”

                

（图4）

有了这样的感性认识,再引导学生利用相似三角形证明这个命题为真命题,然后告诉学生这就是著名的圆内相交弦定理.当您把点 P 拖到圆外, 又可以表现割线定理。（如图5）关于点 P 在圆上和在圆外的情况,可由学生自己完成,并由学生自己叙述并证明割线定理。

知道了相交弦定理和割线定理之后,我们就可以通过比较图4与图5得出两个定理的统一形式：两条相交直线分别与圆相交,则两直线的交点到各弦两端的距离之积相等。

特别地,当一条割线运动到圆只有一个交点,也就是成为圆的一条切线的时候,上述定理就成为切割线定理。（如图6）

 

图5                                     图6

3.2、《几何画板》在立体几何教学中的应用
　　立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础,直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形,从平面观念过渡到立体观念,无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时,大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力,主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的,而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照,平面上绘出的立体图形受其视角的影响,难于综观全局,其空间形式具有很大的抽象性。而应用《几何画板》将图形动起来,就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖,使学生从各个不同的角度去观察图形，辅以虚实线的变化, 配合适当的颜色, 我们可以把立体图形表现的非常逼真。这样,不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识,还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。

例5   关于“异面直线所成的角”的教学研究

异面直线所成的角是“异面直线”这节内容的重点和难点.为此，我们可以用几何画板来设计一个动态的课件，来帮助学生理解这个概念。如图7所示，通过单击课件中的 按钮，可作出过点0与a平行的直线，同样单击课件中的 按钮，可作出过点0与b平行的直线，单击课件中的 和 按钮，可还原异面直线状态。

 

图7

例6．关于“二面角”的教学研究

二面角的平面角的概念,是“二面角”这节内容的重点和难点.这一概念之所以难以理解,是学生对二面角的平面角为什么要这样定义。解决这一难点的关键是,让学生在理解这一概念的本质属性的基础上,自然地形成二面角的平面角的概念。为此我采用《几何画板》设计如图8所示的二面角 A—L—B ,使得射线 OA、OB 能分别在半平面 A、B 内绕棱上一点 O 自由旋转, 两个半平面 A、B 绕 L 自由转动, 当二面角A—L—B确定之后,如何用一个确定的平面角 AOB 的大小来刻划这个二面角的大小呢？通过 OA、OB 分别在 A、B 内缓缓转动,启发学生发现,必须使 OA 、OB 与 L 成定角.从而进一步提问:这个定角是多大时,才能合理地、科学地用 ∠AOB 的大小来描述二面角的两个半平面的张合程度呢?此时演示动画,使得OA 、OB都与L垂直时停顿闪烁,就不难发现,这个定角为 90°时,就比较合理、科学(如图9)。这样二面角的平面角这一概念的属性( 过棱L上一点 O；OA、OB分别在半平面 A、B 内； OA⊥L , OB⊥L)得到了充分的显示,概念的形成水到渠成。

 

（图8）                                  （图9）

例7 关于“旋转体的概念”的教学研究

由于是学生的抽象思维能力弱,空间观念难以建立，所以在“旋转体”的概念的教学中，教师常感到难教,学生感到难学。若利用几何画板平台将矩形、直角三角形和直角梯形分别绕着适当的边旋转一周,把整个运动过程用不同的色彩保留下来, 一个清晰的圆柱、圆锥、圆台的图形就跃然于“屏幕”上（如图10所示）,不仅省去了教师诸多的口舌和比画动作,而且学生在啧啧的赞叹声中理解起来更是轻松自如,“旋转体”的概念就这样在学生头脑中深深形成了。

        

                                 （图10）

 

例8 关于“圆柱、圆锥、圆台的表面积”的教学研究

《圆柱、圆锥、圆台的表面积》一节,是传统的教学重点与难点。在推导柱、锥、台的侧面积公式时,若借助几何画板平台,采用动画演示三者的侧面展开图,生动、形象、直观地让学生观察圆锥侧面展开图的变化，可加深原图形与其侧面展开图关系的理解。本文以圆锥的表面积为例来说明采用几何画板的优势.如图11用鼠标拖动 A 点或 S 点改变 r 或 L 的大小。这样使教学内容贴近学生的认识水平, 集图、声、色、文于一体, 易于形成鲜明表象, 对激发兴趣,激活思维,提高学生学习的主动性、探究性,发展创新思维能力大有帮助。

 

 

                                   (图11)

例9 关于“锥体的体积”的教学研究

《锥体的体积》一节，推导三棱锥的体积公式是重点也是传统的难点。教材中采用将三棱柱分割成三个三棱锥, 然后证明这三个三棱锥的体积相等。图形变化较大，学生不易理解.而运用“几何画板” 能利用图形的旋转、平移、分割、合并,以及慢镜头的分解动作，在屏幕上显示三棱锥的体积可转化为三棱柱的体积的割补过程（如图12所示）， 教师从演示中分析讲解, 并附以特显镜头, 从棱柱 A´B´C´—A B C 分割出来的两个锥体 A —A´B´C´、B´—A B C , 让它们的顶点和面积相等的两个底面加以色彩, 随着分开—复原—再分开的移动和闪烁过程, 不难得出这两个锥体的体积相等, 同理与另一个锥体也相等，所以学生自然而然地就可得出所要推证的结论。这种教学方式能变抽象为具体，变复杂为简单，变隐形为显形，从而达到拓宽思维角度，降低思维坡度，化解教学难点，突出教学重点的目的。

 

                                  （图12）

例10  关于“正方体截面”的教学研究

在正方体体截面的教学研究中，我们可以通过自由点的动画可以改变截面的形状和大小，使学生清晰的看到正方体的截面有两种情况——长方形和六边形。另外，可以将制作该图的所有线条都显现出来，这样能帮助学生理解截面是如何绘制出来的。在传统的数学教学中, 我们也往往讲述了这种思维方法, 但由于手段的限制, 我们无法展现动态过程。借助《几何画板》就能形象地帮助学生提高空间想象能力和分析问题的能力, 从而解决了该题目所述的截面问题。课件可以动态地显示下述图形13：

 

                                                                          （图13）

3.3、《几何画板》在解析几何教学中的应用

解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科,它研究的主要问题,即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件,选择适当的坐标系,借助形和数的对应关系,求出表示平面曲线的方程,把形的问题转化为数来研究；再通过方程,研究平面曲线的性质,把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化,导致点、线按不同的方式作运动,曲线和方程的对应关系比较抽象,学生不易理解。显然,展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样,《几何画板》又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。

例11 　关于“椭圆的定义”的教学研究

再比如在讲椭圆的定义时，可以由“到两定点C、D的距离之和为定值的点的轨迹”入手──如图14，令线段AB的长为“定值”，在线段AB上取一点E，分别以C为圆心、AE的长为半径和以D为圆心、BE的长为半径作圆，则两圆的交点轨迹即满足要求.先让学生猜测这样的点的轨迹是什么图形，学生各抒己见之后，老师演示图14（1），学生豁然开朗：“原来是椭圆”.这时老师用鼠标拖动点B（即改变线段AB的长），使得|AB|=|CD|，如图14（2），满足条件的点的轨迹变成了一条线段CD，学生开始谨慎起来并认真思索,不难得出图14（3）（|AB|<|CD|时）的情形.经过这个过程，学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念，也锻炼了其思维的严密性。

                             （图14）

 

例12　 关于“极坐标系中的曲线”的教学研究

几何画板不仅有直角坐标系功能,能画出解析几何中的所有二次曲线,而且还有极坐标系功能,可以作出由极坐标方程确定的所有曲线.如由方程  （其中R, n为常数）确定的曲线，当您使其中n的值动态地由零开始连续变化时,就可以看出曲线形状连续变化的过程,即可以看出“玫瑰花瓣”是怎样一瓣一瓣地“长”出来的。不论在直角坐标系还是在极坐标系下都可以作出参数方程的曲线。（如图15）

 

 

                             （图15）

4、运用《几何画板》辅助教学注意的问题

用几何画板上课教学就是用几何画板向学生传递信息，使用几何画板的方法是否恰当，直接影响到教学信息的传递。

首先，要保证有良好的视觉效果，做到图象清晰。注意改善演示条件，除了教室的遮光、银幕位置外。在课件上，我们最好要选择一个合适的背景，否则白底黑字很低容易使眼睛疲劳，从而影响我们的教学质量。

其次，要讲究步骤和方法，做到适时适量，符合学生的认知规律。运用几何画板教学，可以减少教师的讲解，也有助于教师的讲解。教师的讲解要与演示紧密结合，不论采用何种方式讲解，都应该抓住教学内容的重点和难点，对一看就懂的部分，则不必讲解。教师在演示过程中边看边讲，补充说明，把动画速度尽量放慢，以便让学生看清楚细节。将传统的教学方法与几何画板教学相结合，发挥各自的优势。

再次，教师在使用几何画板进行教学的过程中，一定要善于利用几何画板提供的信息，启发学生的思维，帮助他们养成思考习惯，掌握正确思维的方法，诱发学生学习的内部动因。

最后，我们除了学好几何画板外，还要学习其它的软件，比如幻灯片等等。但不能华而不实，因为使用不当，有时会分散学生的注意力，他们只觉得好玩而忽视了本质性的东西。

总之，《几何画板》在数学教学中具有传统教学方法无法比拟的巨大优势，是新课程改革中数学教学不可缺少的辅助工具。只要我们能在平常的数学教学中主动、自觉地应用《几何画板》为教学服务，就能更好地培养学生自主学习、探究问题的能力，就能激发和调动学生进行学科学习的积极性，就能把学生从庸俗的电脑游戏中解脱出来，利用电脑为自己的学习服务。《几何画板》作为一个学生自主学习的平台，必将为学生的自主学习、探究学习提供一个广阔的空间，成为培养学生创新思想的实践园地。

 

参 考 文 献

 

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