§波动方程

一维波动方程

为了从动力学角度研究波的传播规律，这里假设一列平面纵波沿横截面为S、密度为r的均匀直棒无吸收地传播，取棒沿x轴，并将此波的波函数一般地表示为

在棒上任取一棒元Dx，

如图23中AB所示。当波尚未到时，截面A和截面B分别处于x和x+Dx的位置。当波到达时，棒元所发生的形变是长变(或被拉伸，或被压缩)，并且各处的长变不同，截面A处的位移为y，截面B处的位移为y+Dy，因而分别到达图中的A¢和B¢的位置。棒元若被拉伸，则两端面受到的弹性力分别为f₁和f₂，如图6-23所示。于是可以列出棒元的运动方程

http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image003.gif. (6-60)

棒元原长为Dx，当波传到时，棒元的长变为(y+ Dy) -y = Dy，所以拉伸应变为http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image006.gif。根据胡克定律，作用于棒元x处的弹性力f₁的大小可以表示为

http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image007.gif

式中Y是直棒材料的杨氏模量。我们把x+Dx处的拉伸应变记为http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image008.gif ，该处弹性力f₂的大小则为

http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image009.gif .

棒元所受合力为

http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image010.gif,(6-61)

因为棒元Dx很小，所以在上式中略去了Dx的高次方项。将式(6-61)代入式(6-60)，得

http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image011.gif, (6-62)

这就是纵波的波动方程。这个方程式虽然是从均匀直棒中推出的，但适用于一般的固体弹性介质。

http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image022.gif .  (6-64)

上式就是横波的波动方程，它适用于能够传播横波的一切弹性介质。

在推导波动方程(6-62)和(6-64)时，只是区别了波速不同的纵波和横波，至于方程(6-62)适用于何种纵波，方程(6-64)适用于何种横波，振幅多大、频率多高，均未涉及。所以，我们可以断定，各种可能的纵波波函数都是波动方程(6-62)的解，各种可能的横波波函数都是波动方程(6-64)的解。

既然如此，平面简谐波波函数

http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image023.gif,

必定是波动方程(6-62)和(6-64)的解。先看一下平面简谐纵波的情况。将该波函数对时间t求二阶偏导数，得

http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image024.gif,

再将同一波函数对坐标x求二阶偏导数，得

http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image025.gif.

将以上两式代入波动方程(6-62)，即得

http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image026.gif ,

考虑到w² = k² u²，于是就得到纵波波速u的表达式

http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image027.gif .

这正是在§6-4中给出的纵波波速公式(6-51)，这里从波动方程中得到了证明。

用同样的方法可以从波动方程(6-64)中证明横波波速公式(6-50)。

从上面的讨论中我们已经看到，在波动方程 (6-62)和(6-64)中，http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image028.gif项前的系数就是波速的平方，于是我们可以将波动方程(6-62)和(6-64)统一而写为

http://web.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/section06/topic01/6_6_1/image029.gif,(6-65)

这就是波动方程的一般形式。