自1990年代中期以来，新加坡的中小学数学教育经验，由于其学生在第三次国际数学和科学研究（TIMSS）的杰出表现，而引起了全世界尤其是西方 国家的高度关注。与此同时，新加坡的中小学数学课程和教材质量在国际上也倍受推崇，其中数学教材更被不少国家的中小学直接作为教科书使用。在本章里，我们 将试图比较全面地介绍与新加坡的数学课程相关的情况，并提出一些有关的认识。

一、背景和课程的基本理念

同许多国家一样，新加坡在形成其特有的教育体系之前，经历了相当长时间的探索和实践。新加坡在独立前是英国的殖民地，因此深受英国教育体制的影响。 直至今日，新加坡中学高年级的许多学科的教学仍旧是依据英国剑桥考试标准而展开的。而且，学生在完成了前四年或是五年的中学课程后要参加剑桥普通教育证书 “O”或“N”水准会考（后者程度较低）。在新加坡，“O”水准会考的成绩被认为是一项基本的学历资格；“O”水准成绩良好者可以继续修读两年的初级学院 （Junior College）课程，然后参加剑桥普通教育证书“A”水准考试；“A”水准成绩良好者可进入大学继续深造。

在过去，这两种水准的会考完全是由英国剑桥大学考试局负责的。剑桥考试局不仅负责制定两种水准各科考试的纲要，还全权负责考题的拟定、试卷的批改以 及成绩等级评分标准的制定。不过近年来，新加坡教育部已开始逐步介入这两种会考的有关工作，并在2001年时取得了“A”水准考试的主导权。在2002 年，新加坡教育部首次和英国剑桥大学考试局共同拟题和批阅了该年的新加坡“A”水准会考。根据新加坡教育部官员的说法，争取“A”水准会考主导权是为了让 高中教学课程以及考试系统更好地配合新加坡教育制度发展的重点，符合本国教育的目标，以便更加适应新经济时代的需求（潘，2002）。目前新加坡“O”水 准会考仍由英国剑桥方面全权负责，但可以预计，新加坡教育部在今后会承担更多的主导作用。

从某种意义上说，新加坡中学高年级及初级学院的教学与考试更多地是沿袭了英国的教育体系而很少有新加坡本土的特征。因此，本章对新加坡数学教育的介 绍将着重于新加坡小学及中学低年级数学的教与学的情况上。

众所周知，新加坡是一个多种族国家，其中华人约占总人口的77%，马来人约 14%，印度人约7%，其他约为2%。四大官方语言是马来语、华语、淡米尔语和英语。在新加坡独立以前，使用这四大语种作为教学用语的学校都有各自的课程 学制体系，遵循不同的教学大纲，使用不同的教学材料。英校采用的是6-5-1学制（六年小学—五年中学—一年预科），主要由英国传教士管理，使用自英国引 进的教学大纲和教材，用英语进行教学；华校则实施6-3-3学制（六年小学—三年初中—三年高中），由华人委员会管理，使用中国方面的教学大纲和教材，教 学用语是华语；类似地，马来和淡米尔学校也都有自己的一套教育体系。以中学数学教学为例。华文学校一般都采用分科式的教法，即初一教算术，初二教代数，初 三教几何，高一教三角和平面几何，高二教大代数，高三教解析几何；课本多为中华版和商务版，如初三几何采用新三S平面几何，高二代数采用范氏大代数，高三 解析几何采用斯、盖、尼三氏的解析几何（李，1959），而这些正是当时中国大陆所普遍使用的数学教材（张，2000）。相反，当时大部分的英文学校在数 学上采用综合式的教学，课本包含了代数、几何和三角等多种内容，例如Durrell的《初等数学》（Elementary Mathematics）。这种“各自为政”的状况直到1959年才开始有了改观。在那一年，新加坡取得了完全的内部自治权，成立了自己的教育咨询理事 会，并下设了一个教材和大纲委员会，旨在为新加坡所有学校编制一套内容统一的教学大纲。

自1959年起，教材和大纲委员会开始对本地各语种学校所使用的教学大纲进行修订，于1961年公布了一套完整的包括所有传统科目在内的教学大纲。 与此同时，该委员会还对当时部分使用中的教材进行了审阅，并首次颁布了学校用书推荐列表。至此，新加坡开始进入自行设计教学大纲和教学用书的新阶段，并逐 步将原有四大语种不同的教学体系统一化。这一过程经历了相当长的时间，其中1960年为四大语种的学生设立了小学离校考试（Primary School Leaving Examination，PSLE），现俗称“小六会考”，1971年所有四大语种的中学四年级学生首次参加了统一的剑桥普通教育证书“O”水准会考，四 大语种的教学体系才算是真正得到了统一。英语成为所有学校的教学用语，其他三种语种则作为不同种族学生相应的必修母语科目。目前新加坡统一的教育体系是6 年小学，4年中学，2年初级学院，以及3至4年大学（详见图一）（暂略）。

四大语种在教学上的统一是新加坡教育史上的一个里程碑。之后，新加坡决策者开始更多地考虑教育如何适应学生学习能力差异的问题。因此，在1976年 和1978年，新加坡教育部先后公布实行了修订后的小学和中学教育体制。新体制的一个主要特征就是将学生根据他们不同的学习能力进行分流。最初，小学阶段 的分流是安排在三年级末进行，从1995年后，分流时间被推迟至小学四年级末，现俗称“小四分流”。分流前，所有学生都学习相同的科目，目的是使学生能在 英语、母语和数学上打下扎实的基础，因此从小学一至四年级称为基础阶段。根据分流结果，每一学生在小学五和六年级修读三种课程即EM1、EM2和EM3的 其中之一。总的来说，EM1和EM2的学生在英语、数学和科学课程上的学习除了在规定的学时上有一定差别外，在教学内容上没有分别；但在母语方面，EM1 学生所学的内容程度较EM2学生要高。由于EM3学生的学习基础较前两种课程的学生要差，因此，他们在小学最后两年的课程要求要低不少。该阶段被称之为定 向阶段。

中学阶段的分流则在学生刚进入中学时就开始。学校会依据学生在小六会考中的成绩将他们分入不同的课程类别（新加坡称为“源流”，对应英文 “stream”）中。起初，在中学阶段共有三种课程源流供学生选读，即特别课程（Special course），快捷课程（Express course）和普通课程（Normal course）；1994年起原有的普通课程又被进一步化分为普通学术（Normal Academic）和普通工艺（Normal Technical）两类课程，这也就形成了现在中学里所设的四大源流。中学阶段各课程源流之间的差异较小学定向阶段各课程间的差异要更大一些，有关这方 面的内容将在本章的第二部分做进一步的介绍。

最近几年来，新加坡在教育上推出了不少重大举措。其中最宏观层面的是1997年新加坡教育部提出的“思考的学校，学习的国家”（Thinking Schools, Learning Nation）的总目标。更具体地，包括三个重要方面：思考技能（Thinking Skills），信息技术（Information Technology，简称IT）和国民教育（National Education）。它们直接影响新加坡教育的各个方面，包括数学课程和教学。

在教学中强调思考技能的重要性在新加坡其实并非是一个新课题。早在1987年，新加坡就开始在部分学校尝试引进波诺（Bono）的思维训练课程。 1995年，作为试点又在五所中学引入以马札诺的《学习的维度》（Dimensions of Learning）为蓝本的新的思维课程，并逐步推广到全体中学中。新课程的目标是让学生能够（a）认识和理解核心思维技能和过程；（b）运用这些技能于 学科学习、实际生活的决策过程以及问题解决中；并且（c）培养起积极的态度以帮助他们成为具有批判性、创造性和有自律能力的学习者 （CPDD，1999）。该课程主要是为中学低年级（即中学一、二年级）的学生设计的，为期两年，共有两个组成部分：其一是在非学科教学中进行专门的思考 技能的教学；其二是将思考技能融入核心课程的教学中，如英语、科学、数学、地理和历史。课程建议，有关这方面的教学最终应达到总课程的30%，而且在教学 过程中要明确教授思考技能以使学生对核心课程能有更深入的理解。

在数学学科方面，最新的新加坡中小学数学教学大纲体现了这种理念。根据最新的中学（低年级）数学教学大纲：“思考技能的培养应当有意识地融入数学概 念和问题解决的学习中。应当创造条件让学生描述、使用和解释他们在进行数学思考和问题解交流过程中所用到的思考技能。”（ Ministry of Education， Singapore， 2000a，p.15）。事实上，中学大纲明确列出了九种具体的思考技能，如分类和比较；而小学数学大纲则列出了八种具体的思考技能

在新加坡教育部的教育发展蓝图中，有一项结合信息技术（IT）进行学科教育的规划，称为资讯科技教育总计划（The Masterplan for IT in Education)。该规划认为未来技能的焦点将集中于思考、学习和交流等方面，而基于信息技术的教与学则是获取上述技能的关键途径。该总计划共包括四 个主要目标：1、加强学校与外部世界的联系，拓展和丰富学习环境；2、鼓励创造性思维、终生学习的习惯和社会责任感；3、通过信息技术与教育的结合为教育 改革带来创新的生机；4、发挥信息技术在教育系统行政管理方面的优势。

在硬件建设方面，新加坡政府在1997至2002年间共投资20亿新元为全国各中小学和50%的教师配置计算机/笔记本电脑，其目标是到2002年 时学生与计算机的比例基本达到2∶1，相应地，学生基于信息技术的学习达到总课程时间的30%。另外，该总计划还为每一所学校提供遍布校园的网络设施，为 小学四年级及以上的教师和学生配置电子信箱帐号。

在软件开发方面，教育部在1998年时推出了一个以教师和家长为主要服务对象的“教育电子坊”网站（有兴趣的读者可查阅网址 http://www.moe.edu.sg/edumall）。其中包括有电子图书馆（含有大量的软件资料介绍，网站链接、电子录像片等）、电子咨询台 （提供与教育信息技术有关的协作性研究项目的信息，为教师创建一个相互交流的平台）和电子展厅（介绍与教育信息技术有关的革新项目的相关信息以及提供信息 技术在教育中的最新发展动态）。此外，该总计划提出，在软件和课程目标实现匹配之后，信息技术应当被引入所有的学科科目中。根据现有可用软件的情况，在小 学阶段，英语、数学、科学和中文等科目可引入信息技术；相对而言，可引入信息技术的科目在中学阶段则更为广泛，除上述提到的科目外，还包括有地理、历史、 英国文学以及公民和道德教育。

人力资源的开发是总计划的另一个重要内容。该总计划指出每一名教师都应该具备有运用信息技术设备和在学生中推广新的学习策略的能力。为此新加坡教育 部制定了有关的教师培训计划。国立教育学院也增加了这方面的培训内容，以确保所有的毕业生具备有基本的使用信息技术和资源进行教学的能力。

在数学教学方面，新加坡数学教学大纲作了如下的说明：“信息技术的介入能够帮助培养学生对数学的兴趣，丰富他们的学习体验，有助于他们成为独立的思 考者和学习者。”（Ministry of Education，Singapore，2000a，p.16；2000b，p.18）对于如何在教学中结合信息技术，大纲也做了具体的说明。例如，大 纲要求在中学低年级几何教学中，只要可能，教师应当创造机会让学生运用相关的信息技术工具进行几何性质的探究。

第一个总计划已在2002年完成，接下去的从2003年至2007年是第二个该总计划。在这第二个总计划中，信息技术将融入学科内容以创造一个动态 而灵活的课程；同时，信息技术的使用也将扩展教育评定的范围和性质。在教师专业培训方面，将开发一个综合而持久的教育信息技术专业培训模式；推动一个网上 学习的环境；并创设有效的组织以鉴别和评定教师。在学校建设方面，将积极推动信息技术在教育中的运用；支持和建立有效的学校组织；并通过对领导层的建设让 学校享有更多的自主权。在基础设施和援助上，将提供可靠、灵活而又安全的网络途径；提供多用途、多功能和范围极广的信息技术氛围；并提供信息技术支持服 务。最终，通过第二个总计划的推行，教育部希望达到以下六个成果：

1、学生能够有效地使用信息技术进行积极的学习；

2、通过使用信息技术提高课程、教学与评定的联系；

3、教师能够有效地使用信息技术进行专业和个人的发展；

4、学校能够利用信息技术改善学校质量；

5、在教育信息技术方面形成积极的研究氛围；

6、拥有一个良好的基础设施以支持信息技术广泛而有效的使用。

国民教育是“思考的学校，学习的国家”计划中的最后一项内容。新加坡政府认为，当国家经济逐步迈向全球化的时候，全体公民必须具有强烈的国家意识， 并时刻牢记自己是新加坡的一员。因此在各学科教学中，就要求能充分体现这一理念。以数学为例，有关如何将国民教育与数学教学相结合的问题，新加坡中小学数 学大纲作了如下的说明：“国民教育是总体教育的一个组成部分；因此每个教师应当起到他应有的作用。在数学授课中，国民教育应当通过在课堂上列举与国情相符 的实例来实现。这些实例可以用在问题解决中也可以是在实际操作题中。”（Ministry of Education，Singapore，2000a，p.17；2000b，p.18）

二、2000年数学教学大纲

在评述新加坡最新2000年数学教学大纲前，我们先对有关背景作一简单的回顾。

如前文所言，在独立前，新加坡的教育处在一个各语种体系“各自为政”的状态。即，各语种都有各自独立的教学体系，使用着互不相同的教学大纲、教科书 以及教学用语。直到1961年，新加坡教材和大纲委员会颁布了一套完整的适用于各语种涵盖所有传统教学科目的教学大纲才统一了这种局面。在这套大纲中，数 学大纲是在1959年时完成的，传统上该大纲称为大纲B。在这个大纲中，数学是不分科的，并采用螺旋式方式编排数学教学内容。即，数学不特别划分为算术、 代数或是几何等，而作为一个整体进行教授，并且对于各内容的教学采取的是循环往复的方式。此外，大纲B还有另一个重要特征，那就是它同时包括小学六年和中 学四年两个阶段的数学教学,而以后的教学大纲都将两者分开。

1971年，一套修订后的小学数学教学大纲出台；两年后，即1973年，修订后的中学数学教学大纲也推出。至此，新加坡数学大纲开始分小学和中学两 套进行编订并一直延续至今。由于受新数学运动的影响，当时的中学数学大纲编入了不少现代数学的内容，例如，集合和群域。不过在1981年所出的更新一版的 数学大纲中，很多新数内容又被撤了出来。习惯上，1973年出版的这套中学数学大纲称为大纲C。

考虑到学生在学习能力上的差异并为了能更好地发挥学生的学习潜能，新加坡从1979年开始引入了学生分流的体制。针对这一新的体制，新的小学和中学 数学大纲（称为大纲D），从1981年开始逐步取代了原有的中小学大纲。新的大纲体现了分流的特征。在小学阶段，低年级（一到三年级）的数学课程是统一 的，而到了高年级，课程则分为延续性课程（Extended Course，四至八年级，为期5年）和普通课程（Normal Course，四至六年级，为期3年）两种。延续性课程在内容要求上较低。除了这两种课程以外，还有一种课程是专为单语学生开设的，为期5年，不过这种课 程只出现在1981年的大纲中，之后便取消了。中学阶段的课程共有三类：特别课程，快捷课程和普通课程。这三种课程当时在教学内容上并没有大的差异，只是 特别课程和快捷课程要求四年完成，而普通课程则为五年。

1990年，新加坡教育部再次对数学大纲进行了修订。与1981年的大纲相比，1990年的大纲更注重对学生在数学概念、基本技能及数学过程方面的 培养。大纲首次提出将发展学生的数学问题解决能力作为数学课程的基本目标，而且数学问题解决也被定位为新加坡数学课程框架的核心。以下是2000年公布的 最新大纲的数学课程框架，与1990年的框架基本相同（见图二）（暂略）。

除此之外，从1990年起还有一个重大变化，即教育部不再为中学三年级及以上的数学课程编写教学大纲。至今中学高年级的数学教学仍是依照剑桥普通教 育证书会考大纲而展开的。

在1990至2000年间，新加坡教育部课程规划署又先后两次分别对中学低年级和小学的分流作出调整。这对数学教学大纲也产生了一定的影响。 1994年中学分流课程中的普通课程被进一步划分为普通学术课程以及普通工艺课程，这两种课程内容的学术程度变得比特别课程和快捷课程要低很多。其中普通 工艺课程是专为学生中学毕业后的技术职业培训而开设的。1995年，小学的分流在时间上被作了调整：由原来的小三分流改为小四分流，共设三种课 程：EM1、EM2和EM3。前两种课程除了在教学时间上有一定的差异外，在教学内容上是统一的；而EM3的数学大纲在数学内容要求上程度较低。

如前提到，新加坡政府在1997年提出了“思考的学校，学习的国家”的教育总目标。为响应这一宏观的理念，1998年新加坡教育部推出了试行的小学 及中学数学教学大纲。这两个大纲都力求贯彻“思考技能”、“国民教育”和“资讯科技教育总计划”的精神，而且都对1990年大纲在内容的量上做了大幅度的 删减。在此基础上，教育部于2000年又分别颁布了修订后的正式的小学及中学数学教学大纲，从 2001年起实行，这也就是下文中将着重介绍的内容。

最新的小学及中学数学教学大纲虽然在教学内容上自然不同，但在总体理念上两份大纲贯彻的是同一个数学教育目的和数学课程框架。根据大纲，新加坡中小 学数学教育的目的是要使学生能够：

1、获得并使用他们在生活中将遇到的数学情境中与数、测量和空间有关的技能和知识；

2、获得进一步学习数学和其它学科所必需的数学概念和技能；

3、通过解决数学问题发展逻辑演绎和归纳及清楚表达他们的数学思维和推理技能的能力；

4、运用数学语言准确、简略而有条理地表达数学思想和论证；

5、发展对数学的积极态度，包括自信、喜爱和毅力；

6、欣赏数学的力量和结构（包括模式和关系）以增强他们的求知欲。

在数学课程的框架上，2000年大纲与1990年大纲大致相同，数学课程的基本目标仍是培养学生的数学问题解决能力。大纲明确指出，所谓的数学问题 解决是指在实际任务、现实生活问题和纯数学问题中使用和应用数学。在这里，“问题”一词包含了广泛的情况，从常规数学问题到需要用到有关数学及思考过程的 情景不熟悉的问题和开放性探究问题。如图二所显示，围绕着数学问题解决有五大紧密相关的要素：概念、技能、过程、态度和元认知。对这五大要素的具体内容， 大纲作了以下说明：

1、概念：指解决数学问题所要用到的基本的数学知识，包括数的概念、几何概念、代数概念和统计概念；

2、技能：指要求学生在进行解决问题时运用与内容有关的运作技能，包括估计与近似、心算、交流、使用数学工具、算术运算、代数运算和数据处理；

3、过程：指数学问题解决中所涉及的思考和解题策略（Heuristics）。（对于具体的思维及解题策略内容，大纲对小学和中学阶段的数学教学作 了不同的说明，见表一）；

4、态度：指数学学习的情感方面，如喜欢做数学、欣赏数学的美和力量、具有运用数学的自信心、以及有解决问题的毅力；

5、元认知：指监控自身在问题解决中的思考过程的能力，包括持续而有意识地监控执行任务中所用到的策略和思考过程、灵活运用不同的方法，以及检验答 案的正确性和合理性。

表一、新加坡中小学数学大纲所列的思考技能及问题解决策略

新加坡中学（低年级）和小学的数学大纲是分开出版的，这样在一定意义上有利于教师使用，但联系十分紧密。这不仅体现在前面提到过的宏观的数学教育的目的和 课程框架相同，而且更多反映在中小学具体教学目标及内容的联系和衔接上。大纲试图按学生认知发展的不同水平安排中小学的教学内容和要求。例如，小学的数学 课程要求学生能够认识两维和三维系统中的空间关系，而中学的数学课程则进一步要求学生能够运用这些关系。对于数学中的模式和关系，小学阶段的数学只作认识 的要求，而到了中学阶段，学生就不仅要能够识别这些模式和关系而且要能够运用它们。在对数学语言、符号和图式的使用上，小学阶段要求学生能够运用它们表达 和交流数学思想，而对中学生来说，不仅要能够运用还要能够理解。同样地，对于所学的数学概念，小学阶段的要求是让学生能够使用这些概念进行问题求解，而对 中学生来说，则要求他们能对在熟悉和不熟悉的情况中，包括日常生活，所遇到的数学概念进行解释。在问题解决的学习上，小学数学课程要求学生能够运用恰当的 策略进行解题，而中学的数学课程则要求学生能分析问题、将问题数学化并使用恰当的策略进行解题、验证和解释所得到的解，并能清晰地有条理地解说他们的结论 和解法。此外，中学阶段的数学课程还要求学生能够学会使用计算器、收集和分析数据、认识大纲中涉及的不同数学内容间的关系、以及认识到数学在其他学科中的 运用，这些都是小学数学课程所不曾提及的。表二简略地列出了大纲所规定的各年级数学教学内容的范围。

表二、新加坡中小学各年级数学教学内容表

注：1、小四分流后的小学课程共分三种课程：EM1、EM2、EM3；

　　2、中学阶段的分流课程共有四种：特别课程、快捷课程、普通（学术）课程和普通（工艺）课程。

就象表二反映的，在小学阶段，EM1和EM2的数学课程在内容上是统一的。这两种课程在数学上使用的是同一个教学大纲，只是在教学时间上，EM1每 周数学授课为4.5小时，但EM2为每周5小时。而EM3与这两种课程的差异较大，不仅EM3课程每周数学授课时间为6.5小时，在教学内容上，有相当一 部分EM1/EM2的教学内容没有或是被推迟列入在EM3的课程中。例如，EM1和EM2的课程在小六引入了代数学的内容，而EM3却没有；又如，EM1 和EM2的课程在小五时就引入了百分数的概念，而EM3的课程到六年级才介绍这一概念。

类似地，中学阶段的各类课程在数学教学上也有不同程度的差异。特别课程和快捷课程使用的是同一个教学大纲，普通（学术）课程所涵盖的数学内容大致上 是前者的一个子集，而普通（工艺）课程则是普通（学术）课程的一个子集。在教学时间的安排上，前三种课程都是每周2.5至3个小时，而普通（工艺）课程的 每周数学授课时间被设为4至5个小时。

除了教学目标和教学内容，大纲还对教学评定工作提出了一定的建议。大纲指出，评定是教学过程的一个有机组成部分。数学评定的主要目的应当是改进数学 的教与学。在评定中，教师应当考察学生思维、学习和行为的不同侧面。另外，大纲还建议了两种评定方式：连续性评定（这种评定强调的是评定的持续性，可采用 的形式有课堂观察、口头交流、书面作业和测验，以及实践性探索任务）和学期性评定（这种评定强调的是学生阶段性的总体表现，可采用的形式有年中和年末考 试）。无论是哪种形式的评定，大纲指出，评定任务中都应当适当地反映心算、数学交流、数学的实际应用、探究、问题解决、批判性思维、创造性工作以及使用信 息技术等方面大纲所体现的特色。

值得注意的是，新加坡教育部于2002年拟定了小学和中学（低年级）的数学评定指导纲要，初稿正在征求意见过程中。正式稿将于2003底或前后出 版。该指导纲要突出了评定在教学过程中的重要性，及多元评定方法在整个评定工作中的意义。

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