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信度理论的实际应用问题

(2009-02-24 12:45:05)
标签:

频数

泊松分布

先验

精算师

教育

分类: 业务与报价
最近一个朋友问一个关于信度(credibility)的问题,情景很简单,是这样的。
 
假设该公司每辆车每年出险的频率服从泊松分布,且泊松参数每年保持恒定。假设不同车辆的泊松参数服从[0,2]上的均匀分布。该公司过去三年的索赔经验数据如下表。假设该公司2007年拥有三辆汽车,请应用Buhlmann-Straub信度模型估计该公司在2007年的总索赔次数。
 
年度
2004
2005
2006
车辆数
5
6
3
总索赔次数
2
4
0
 
这是一个很现实的问题,尤其是在超赔再保险估价中,由于历史经验损失数据很少,因此有时候不得不利用信度加权调整技术来估计相关参数。
 
先说说先验估计。在没有拿到公司的历史损失数据时,估价精算师做了这样的判断:每车每年的出险的频率服从泊松分布poisson(λ),而泊松参数λ服从均匀分布U(0,2)。估价精算师在做这个判断时,没有简单地采用泊松分布,而是考虑到了泊松分布的参数风险,给出了泊松参数的概率分布,这一点有助于降低模型的参数风险。
 
在这个先验判断下,每车每年的预期出险频数是Eλ=1次。(说明:因为λ服从Uniform(0,2),所以Eλ=1,Varλ=(2-0)^2/12=1/3)。又由于2007年公司承保3辆车,因此该公司在2007年一年内的先验预期损失频数为 3*Eλ=3次。
 

 

在得到历史经验数据后,后验估计是很容易看到的:在过去的三年内,历史数据共有14辆车,6次损失,因此每车的出险频数为6/14次。因为2007年有3辆车,故后验出险频数为6/14*3=9/7

 

接下来,需要对先验估计和后验估计做信度加权,信度加权的出险频数的表示形式应该是 Z*9/7+(1-Z)*3.现在问题的关键是信度值Z是多少?

 

 

在Buhlmann-Straub信度模型中,信度值Z的计算过程如下:

过程方差均值EVPVvE[Var(X|λ)]=E[λ]=1

假设均值方差VHMaVar[E(X|λ)]Var[λ]=1/3

Z=n/(n+v/a)=(14)/(14+1/0.333333)=14/17

 

算出信度值Z后,再计算信度加权出险频数就轻而易举了,答案为 Z*9/7+(1-Z)*327/17=1.588次。

 

 

信度问题是 London Market Pricing Methods 关注的问题之一。在历史数据有限的情况下,如何来有效地预测与估价。在这个问题中,对精算师来说一个难点,不是信度值Z的计算,这是一个技术问题,多困难的计算在计算机的辅助下都不成为问题。精算师的难点是对先验的精算判断,在这个问题中,他首先判断了每车每年的出险频率为泊松分布,随后又进一步对参数风险进行了判断,判断泊松参数的概率分布为均匀分布。

 

其实,这个频数评估问题仅仅是整个估价过程中的一步。一般地,在得到损失频数的结果后,需要结合损失强度模型,构造聚合风险模型并使用随机模拟技术来对 London Market business 做估价。

 

在对 London Market business 做估价时,一般国际精算界认为使用聚合风险模型要比直接使用总损失模型(Aggregate Loss Model)更合理且容易进行估价监控的,总损失模型无法体现损失频数和损失强度的信息,这可能使估价过程根本无法进行合理性评价,并可能造成对损失成本的评估错误。


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