斐波那契数列的性质有了新发现

---欧拉教育师生探索发现系列

我们知道斐波那契数列是一个非常神奇的数列，它具有非常多的美妙性质，诞生八百多年来人们对它依然充满着浓厚的兴趣。可以说，斐波那契数列就像一只能下金蛋的鹅，催生了许多发现。在欧拉教育的课堂上，我们一贯地把发展学生的思维能力放在比会做题更重要的位置上，所以我们在引导学生欣赏这些性质的时候，又有了属于我们自己的新发现。这也体现了我们对数学思维规律的深刻把握。

先来回顾一下数学家发现的斐波那契数列性质：

1、斐波那契数列相邻两数商的极限是黄金数。

2、相邻的斐氏数之平方和仍为斐氏数。

3、连续三项斐氏数，首尾两项之积，与中间那项平方差为1。

4、相邻斐氏数互质

5、前n项和，等于第n+2项

6、前n个奇数项的和等于第2n项

7、前n个偶数项的和等于第2n+1项-1

8、前n项平方和，等于第n项和n+1项的积

9、相邻两项的平方差等于这两项前后两项的积

10、除了0和1外，唯一的平方数斐氏数f12=144。立方数只有是1和8

11、除以正整数余数有周期性

12、指标数整除，则斐氏数整除。

13、每第三个数可以被2整除，每第四个数可以被三整除，每第五个数可以被5整除，。。。，除数构成斐波那契数列。

14、除了斐氏数3外，每一斐氏数若为素数，则指标数也为素数。逆不成立

15、f（m，n）=（fm，fn），其中，m和n为数列的指标数。比如，（10，15）=5，第五项是5，而这两个指标数所对应的斐氏数的公因数也等于5，即（55,610）=5。 

16、末尾数字的周期性 周期为60 末两位为300，末三位1500，末四位15000，末五位150000，……。

欧拉教育师生从来不会满足于学习欣赏别人的发现！大家注意，上述各条性质仅仅涉及到平方。在1月5日的数学课堂上，丁子卓同学提出“老师，立方会怎样？”说干就干，我们立刻开始计算相邻两数的立方和会有怎样的规律，结果真的有了很美妙的发现！但这个发现的过程还是有点曲折的，同时也需要一点点灵感，而且，差点中了“公鸡归纳法”的招！

先给各位童鞋普及一下“公鸡归纳法”是怎么一回事。它来源于1962年华罗庚给中学生讲的一个故事：一只被人买去的公鸡每天得到一把米，于是它得出结论：从今以后每天都有一把米。但是不久后，家里来了客人，公鸡被宰了下酒。华罗庚以此故事来说明不完全归纳法有时候靠不住。

计算探索过程如下：

1³+1³=1+1，

1³+2³=8+1

2³+3³=34+1

于是，我们很兴奋认为找到了规律，相邻两个斐氏数的立方和等于一个斐氏数加1.我们继续计算，结果傻眼了：

3³+5³=152

5³+8³=637，都不是斐氏数加1.

虽然很失望，但我们没与放弃，继续观察思考。情怀张提议：看看和相近的斐氏数的差会怎么样？这一小小的提议使我们的探索又柳暗花明！

3³+5³=152=144+8

5³+8³=637=610+27

丁子卓同学大声说：“立方！8是2的立方！”哈哈！果然优美的规律很快又出现了！大家来看：

1³+1³=1+1=1+1³，

1³+2³=8+1=8+1³

2³+3³=34+1=34+1³

2³+5³=152=144+8=144+2³

5³+8³=637=610+27=610+3³

猜想后边应该是斐氏数加4或者5的立方。一试就灵！应该是加上斐氏数5的立方。

8³+13³=2709=2584+125=2584+5³

13³+21³=2197+9261=11458=10946+512=10946+8³

21³+34³=9261+39304=48565=46368+2197=46368+13³

……

于是，我们得出初步的结论：相邻两个斐氏数的立方和等于一个斐氏数加上一个斐氏数的立方，而加上的第二个斐氏数底数系列，也构成斐波那契数列。

相邻两个斐氏数的四次方和怎么样，一般的，n次方和怎么样？

当然这个结论会不会中了“公鸡归纳法”的招，我们的直觉是不会。有兴趣的童鞋可以用计算器再算下去看看。

在1月6日的数学课堂上，在欣赏完第七条性质“前n个偶数项的和等于第2n+1项-1”后，情怀张建议大家算一下前n个项数是三的倍数的项的和看有没有规律。说干就干，立马开算！我们得到了如下的一系列的和：

10，44，188,798，3382，14328，……

结果，张家瀛、郑博文、于昊冉三位同学经过认真观察、互相启发有了新发现：

前n个项数是三的倍数的项的和构成了一个新的数列，而这个数列中相邻两项的和比加到的那一项的后边相邻的斐氏数少1.

（下边是斐波那契数列前24项，供学习研究的同学参考：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........）

情怀张曰：济南欧拉教育要做中国最重视趣味教学、最重视思维发展的的培训学校，不只是说说而已，我们是认真的！并终将在此思想指引下结出累累硕果！欢迎真正懂教育的家长和学生加入我们！