在研究平面图形的面积时，我们经常用到割补法。割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现。《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题。下面举例说明：

三角形面积公式的推导，现行数学教材中的方法是将两个三角形拼成平行四边形，然后引导学生得出计算公式。在《九章算术》中，三角形被称为圭田。圭田术文是“半广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高。刘徽注为：“半广者，以盈补虚，为直田也”，说明它是应用出入相补原理，由长方形面积导出的。下图中的三角形下盈上虚，以下补上：

http://s9/middle/5d4f48echb19be8fea9c8&690 

如果以上角为盈，右下角一侧为虚，像下图一样通过割补变为平行四边形，三角形的面积则等于高的一半乘底。

http://s3/middle/5d4f48echb19be848de42&690

在人教版五下96页也介绍了一种割补方法（如下图），也可以得到三角形的面积为高的一半乘底。不管“底的一半乘高”还是“高的一半乘底”，最后都可得到三角形的面积为底乘高的积除以二，但其背后的思考过程却是不一样的，真可谓“条条大路通罗马”。

http://s10/middle/5d4f48echb19bea4ccba9&690 

《九章算术》方田章中，给出了用出入相补原理计算梯形面积的两种方法。术曰：并两邪（上底和下底）而半之（除以二，其实就是线的割补），以乘正从（就是高）若广。又可半正从（高的一半）若广，以乘并（上底和下底的和）。

上述方法一用图形可表示如下：

http://s9/middle/5d4f48echb19be9ab9048&690 

在人教版五下96页也介绍了一种割补方法（如下图），可以得到梯形的面积

为高的一半乘上底和下底的和，也就是《九章算术》所述的方法二。

http://s15/middle/5d4f48echb19bea9b1efe&690 

 除了这些用直线段围成的图形可以用出入相补原理外，曲线图形亦可用此思想方法解决问题，试看一例：

《九章算术》中方田章环田（即环形）术曰：“并中外周而半之，以径乘之为积步”。设环形内外周分别为c₁、c₂，环宽为d，则有s=d (c₁+c₂)/2。刘徽注曰：“并而半之，以盈补虚，得中平之周。周则为从，径则为广，故广从相乘而得其积。”以盈补虚其实也是出入相补，只不过这里割补的是线段。《九章算术》中的这个公式是如何得到的，我猜想是不是做了这样的推理：中外周并而半之，得到的应是两圆中间的圆周的周长，用这个数值乘环宽理应得到环形的面积。

http://s11/middle/5d4f48echb19beb40144a&690

我们也可以仿照将圆剪拼成平行四边形的方法，将环形也可以剪拼成平行四边形，拼成的平行四边形的长等于中外周的一半，宽等于环宽，所以环形面积就等于中外周的一半乘环宽。

由前述，我们深信耳熟能详的一句话确为至理名言，让我们牢牢记住：“要给学生一碗水，教师首先要有一桶水，理想的境界是要有长流水。”