1 定义：对于集合A，B，当且仅当存在从A到B上的一个双射（一一对应）时，说A等势于B，记作A≈B。

定理1：对于任何的集合A，B，C，1)(自反性)A≈A；2)(对称性)A≈B⇒B≈A；3)(传递性)A≈B∧B≈C⇒A≈C。

≈ 的一般性质：对于任何的集合A，B，C，D：I )A≈C∧B≈D⇒AXB≈CXD；II) A≈C∧B≈D∧A∩C=B∩D=∅⇒A∪B≈C∪D(这里有问题，见勘误1)；III) A≈B⇒P(A)≈P(B) 。

2 定义：对于集合A，当且仅当存在一个自然数n，使A≈n，我们说A是有限集。否则（即不存在这样的自然数n）说A是无穷集。

引理1：与0等势的集合只有他自己，特别是，有0等势的自然数，只有它自己。

引理2：对于任何的自然数m，n，m≈n⇒m=n。

定理2：与某一有限集等势的自然数是唯一的。

引理3：设B是自然数n的真子集，则存在一个自然数m

定理3：有限集的任何子集是有限集。

定理4：有限集A不能与其任何真子集B等势，且N(B)

3 定义：对于集合A，B，当且仅当存在从A到B内的一个单射，说A受制于B，记为A≼B。当且仅当A≼B，且A不与B等势。说A严格受制于

B，记为A≺B。

定理5（Cantor）：对于任何集合X，X≺P(X)。

引理：设给定f:A→B和g:B→A。则存在A₁，A₂， B₁， B₂，使1)A=A₁∪A₂且B=B₁∪B₂，同时A₁∩A₂=∅且B₁∩B₂=∅，2)f(A₁)=B₁且g(B₂)=A₂。(正规子集)

定理6（Schroder-Bernstein）：对于任何的集合A，B，A≼B∧B≼A⇒A≈B。

定理6'（Schroder-Bernstein）：对于任何的集合A，B，C，A≼B≼C∧A≈C⇒A≈B≈C。

开区间(0,1) 连续统　A≼B或B≼A有一成立产，A，B是可较的

4 选择公理(E.Zermelo公理)：从非空集组成的非空族的每一项里，可以选出一个元素，组成一个族。这就是说，设给定集族(A_i)_i∈I，其中标集I≠∅，且对于每个i∈I，A_i≠∅，那么存在一个族 (a_i)_i∈I，使对于每个 i∈I， a_i∈A_i。

选择公理：由非空集合组成的非空族，其诸项的笛卡尔积是非空的。这就是说设给定集族(A_i)_i∈I，其中I≠∅，且对于每个i∈I，A_i≠∅，那么XA_i≠∅。

选择公理：对于每个非空集合A，存在一个函数ψ（称为A的选择函数），它从A的每一非空子集中选出一个元素。这就是说，设A≠∅，则存在函数ψ:P(A)-{∅}→A，使ψ(B)∈B。

定理7：设A≠∅，我们有：存在单射f:A→B⇔存在满射g:B→A。

5 定义：当且仅当A≼ω时，说集合A是可数的。

定理8：可数集的任何子集可数。

定理9：可数个可数集的并集可数，这就是说，设集组M可数，且M的每一成员可数，则∪(M)可数。

定理10：任何无穷集有一子集，与ω等势，即如A是无穷集，则ω≼A。

定理11：如A是无穷集，则A与其某一真子集等势。  

勘误：

1,我觉得第1节，等势性质II好像不对。比如A={a,b},B={b,c},C={u,v},D={x,y}。符号条件A≈C∧B≈D∧A∩C=B∩D=∅，但是推导不出A∪B≈C∪D 。因为A∪B={a,b,c}，C∪D={u,v,x,y}。元素个数都不一样，怎么一一映射，怎么等势哦。

2,课后题第11题第1小题。R应该是P(X^X)中的等价关系。而不是X^X中的等价关系哦。